1r ciclo Cuestiones dilatación. Breves problemas temperatura y distancia

[SCHRODINGER27]

Hola buenas, planteo las dos siguientes cuestiones cortas:

1. Dos barras, una de acero de 1 m y otra de aluminio de 1.5 m están fijas en uno de sus extremos y se encuentran separadas 1 mm cuando sus temperaturas son de 20º C. ¿A qué temperatura se tocaran entre sí? Los coefs. dilatación lineal son: Acero: 1.5x10^–5, Aluminio: 2.3x10

a) No se llegan a tocar nunca.
b) 70.05º C
c) 40.20º C
d) 30.30º C

Y la segunda es:

2. Cuáles son las longitudes de dos varillas cuyos coeficientes de dilatación son de 9.7 · 10⁻⁶ °C⁻¹ y 1.17 · 10⁻⁵ °C⁻¹ respectivamente, para que a cualquier temperatura su diferencia sea siempre de 5 cm.

a) L₁ = 31.52 cm y L₂ = 26.52 cm.
b) L₁ = 29.25 cm y L₂ = 24.25 cm.
c) Es imposible.
d) Faltan datos para responder la cuestión.


Más que decirme la solución es una u otra, me gustaría saber qué procedimiento se utiliza para resolverlo. Supongo que con resolverlo para 1), para 2) es igual pero despejando otras cosas.

Muchas gracias de antemano.

[Alriga]

Re: Cuestiones dilatación. Breves problemas temperatura y distancia

Debes aplicar la fórmula de la dilatación lineal:

$L_f = L_0 \ [1 +\alpha_L (T_f - T_0)]$

Saludos.

[SCHRODINGER27]

Re: Cuestiones dilatación. Breves problemas temperatura y distancia

Pero no entiendo, ¿cómo aplico ambas barras?

[angel relativamente]

Re: Cuestiones dilatación. Breves problemas temperatura y distancia

Hola,
Observa que siguiendo la formula de dilatación lineal que compartía Alriga, el alargamiento de cada barra es $\Delta L = L_f - L_0 = L_0 \alpha_L \Delta T$. Has de imponer que la suma de ambas dilataciones sea 1mm, por tanto $\left(L_{0,Al} \alpha_{L,Al} + L_{0,Ac} \alpha_{L,Ac}\right) \Delta T = 1 \; mm$, de donde ya creo que se ve claro cómo acabar el problema.

Saludos,

[The Higgs Particle]

Re: Cuestiones dilatación. Breves problemas temperatura y distancia

Me surgen dudas con lo de "barra fija en uno de sus extremos", porque no sé si nos está diciendo que ese extremo no se dilata. Yo supongo que sí, de forma que lo que se dilata en total cada barra (viendo la fórmula que ha puesto Alriga: $L_0 \alpha_n \Delta T$) habría de dividirse entre dos: cada extremo se dilata de igual forma al otro.

Así, el extremo dilatado de la barra de acero junto con el de la barra de aluminio deberían cubrir la distancia que las separa.

Sea $x$ el acero e $y$ el aluminio

$\dst \frac{L_0(x) \alpha_{x} \Delta T}{2} + \frac{L_0(y) \alpha_{y} \Delta T}{2} = d \to \Delta T = \dst \frac{2d}{L_0(x) \alpha_{x} + L_0(y) \alpha_{y}}$

Sabiendo que $\Delta T = T_f - T_0$, despejas $T_f$ y lo tienes.


En caso de que sólo se dilatara uno de los extremos, sería el mismo proceso, pero con el resultado de: $\Delta T = \dst \frac{d}{L_0(x) \alpha_{x} + L_0(y) \alpha_{y}}$


Edito: Me he superpuesto con Ángel . Date cuenta entonces que él opta por el que sólo un extremo se dilata, entonces es la fórmula final

[Alriga]

Re: Cuestiones dilatación. Breves problemas temperatura y distancia

... Me surgen dudas con lo de "barra fija en uno de sus extremos", porque no sé si nos está diciendo que ese extremo no se dilata ...

a)

Aclaración para Schrodinger27: Observa que no tiene sentido físico que “un extremo no se dilate” Lo que quiere decir el enunciado es que hay una “pared” o fijación en cada uno de los extremos opuestos de las barras, con lo cual toda la dilatación térmica $\Delta L_j$ de cada una se transforma en incremento de longitud por los lados más cercanos de ambas.
Si no hiciesen esa salvedad y por ejemplo ambas barras estuviesen reposando libremente en un plano, cada extremo se alejaría $\dfrac{\Delta L_j}{2}$ respecto del centro de cada barra.

Con Acero: 1.5x10^–5, Aluminio: 2.3x10^-5 si aplicas la explicación de THP, (su última fórmula con d=1 mm=0.001 m) has de obtener:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Por lo tanto [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

b)

Las ecuaciones de cómo varían las longitudes de las barras "a" y "b" en función del incremento de temperatura son:

$L_a=L_{0a}+L_{0a} \ \alpha_a \ \Delta T$

$L_b=L_{0b}+L_{0b} \ \alpha_b \ \Delta T$

Cada una de ellas es la ecuación de una recta $y=y_0+m \ x$ Para que conserven siempre la misma distancia entre ellas, ambas rectas han de ser paralelas, por lo tanto:

1.- Las pendientes ( $m$ ) han de ser iguales

$L_{0a} \cdot \alpha_a= L_{0b} \cdot \alpha_b$

$$L_{0a} \cdot \notcien{9.7}{-6}= L_{0b} \cdot \notcien{1.17}{-5}$$

2.- Las ordenadas en el origen ( $y_0$ ) han de diferir en la cantidad de 5 cm que dice el enunciado

$$L_{0a} - L_{0b}=0.05$$

Resolviendo el sistema de 2 ecuaciones (1) y (2) con 2 incógnitas se obtiene:

$L_{0a}=0.2925 \ m$

$L_{0b}=0.2425 \ m$

Saludos.

[SCHRODINGER27]

Re: Cuestiones dilatación. Breves problemas temperatura y distancia

Gracias a todos, Alriga, angel relativamente y The Higgs Particle, ya lo entiendo y lo tengo todo claro. Muchas gracias por el tiempo empleado, todo muy didáctico.