Ecuación general propiedades parciales

[Berna]

Hola.
Tengo problemas para deducir una ecuación general para la propiedad parcial de una mezcla de n componentes. La ecuación es la siguiente:
$\tilde m_i=m+(\frac{\partial m} {\partial x_i})_{T,P}-\sum_ {k} x_k (\frac{\partial m} {\partial x_k})_{T,P}$
Donde la m con tilde es la propiedad parcial, la m es la propiedad de la mezcla. Por ejemplo, m podría ser entropía especifica o entalpia especifica.
Lo más que pude avanzar, fueron estas ecuaciones.
$m = \tilde m_i - \sum _{j} x_j (\tilde m_i - \tilde m_j)$
$dm = - \sum _{j} dx_j (\tilde m_i - \tilde m_j)$
Cuál sería el siguiente paso para llegar a la ecuación?, o me he equivocado en la deducción de las ecuaciones que tengo?