Avanzado Equilibrio hidrostático y termodinámico

[Richard R Richard]

Hace un tiempo que intento resolver sin éxito lo siguiente:

Suponemos un cumulo gaseoso ideal de un único gas monoatómico "noble", cuya concentración ha crecido tanto que su propia masa crea la suficiente atracción gravitatoria para confinarlo a un determinado volumen que supongo esférico.
A la vez quiero imponer que su temperatura es única y constante en todo el volumen.


Como obtengo la densidad y la aceleración de la gravedad en función del radio.

Mi principal problema para hallar la función es que ambas funciones dependen una de la otra $g(r)=f_1(\rho(r))$ y $\rho(r)= f_2(g(r))$ y no salgo del allí, de su dependencia mutua, y no puedo expresar los resultados en función de parámetros medible como, $r$ radio, $M$ masa total , $T$ temperatura, la presión la considero un parámetro interno y no puede depender mi resultado de ese valor.


Por Gauss tengo

$<br /> g(r)=\dst\int_0^R \rho(r)\dfrac{4\pi G r^2}{R_e^2} \dd r$

si T=cte puedo saber cuanto sera PV si conozco PV en cualquier otro sistema con una masa distinta a esa temperatura

por hidrostática

$dP(r)A=\rho(r)g(r)A dr$

y desde aquí como sigo? o que es lo que no considero bien, mi ingenio me dice que debo llegar a una exponencial pero no puedo darme cuenta como

Gracias

[arivasm]

Re: Equilibrio hidrostático y termodinámico

Y usar la ecuación de estado del gas ideal? $\dst p(r)=\rho(r)\frac{RT}{M_m}$

[Richard R Richard]

Re: Equilibrio hidrostático y termodinámico

Gracias arivasm, el tema es que desconozco $M_m$ también, agregandole complejidad al tema , y no estoy convencido que no se pueda hacer nada mas que obtener relaciones empíricas

he estado mirando https://es.wikipedia.org/wiki/Estructura_estelar , claro esta sin necesidad de introducir presión de radiación, pero aún no consigo independizarme de esa masa molar, que por cierto lleva cierta lógica que permanezca en la ecuación

pues con todas las demás variables constantes, un gas con mayor peso molecular sera mas denso y generara mas gravedad en el mismo volumen .....

pero aqui la variable volumen definida atraves del radio exterior, debería a mi entender depender solamente del contenido de masa, es decir un objeto con estas características si es mas masivo, ocupa mas volumen con una cierta relación a esa masa es decir $M_T=M_T(r)$ o $r=r(M_T)$...


mientas venía escribiendo creo haber captado la escencia de lo que me indicabas

$dP(r)A=\rho(r)g(r)A dr=d\rho(r)\dfrac{RT}{M_m}A$

aun así $g(r)$ depende de $\rho(r)$ y haciendo las cosa muy brutas me quedaría


$\dst \rho(R)\left [\int_0^R \rho(r)\dfrac{4\pi G r^2}{R_e^2} \dd r\right ] A dR=d\left [\rho(R)\dfrac{R_uT}{M_m}\right ]A=\dfrac{AR_uT}{M_m}d\rho(R)$

la expesión inicial junto con la final hacen una ecuación diferencial que se que resuelve facil si la gravedad fuera constante con el radio (me daria una exponencial como vengo buscando),pero para esta cosa rara que propongo (y que se me hace que me estoy equivocando muy feo al plantear esta ecuación diferencial) , quiza deba aplicar el teorema fundamental del calculo de un modo que no veo por ahora ...

$\dfrac{d \rho(R)}{\rho(R)}=\left [\int_0^R \rho(r) r^2\dd r\right ] \dfrac{4\pi GM_m}{R_e^2R_uT}dR$

por variables separadas ???? no no creo

si uso $\frac{d}{dx}{\int_{a(x)}^{b(x)}f(t)dt} = f(b(x)) \cdot b'(x) - f(a(x)) \cdot a'(x)$


$\dfrac{\mathrm{d}\left [ \frac {\rho'(R)}{\rho(R)}\right ]}{\mathrm{d}R }=K \rho(R) R^2\cdot 1-0=K \rho(R) R^2$

[Anaximandro22]

Re: Equilibrio hidrostático y termodinámico

Tal vez no sea posible calcular la aceleración de la gravedad en función del radio porque depende de una densidad que no es homogénea . La dificultad estaría en calcular el valor medio de esa densidad. Me explico :


Sabemos que la gravedad depende de la masa y esta a su vez del volumen y densidad.
Pongamos el caso de una esfera sólida de densidad uniforme con suficiente masa para ejercer una fuerza de gravedad considerable.


En este caso la fuerza de gravedad disminuye de forma lineal ( o tal vez exponencial ) desde la superficie hacia su centro , teniendo su valor máximo en la superficie y siendo cero en el centro de la esfera , porque toda la masa del sistema , que circunda el punto central , lo atrae desde todas direcciones hacia la superficie de la esfera.


Supongamos ahora la misma esfera formada por gas.
La superficie mantiene un equilibrio hidrostático al igualarse gravedad y presión del gas .

Supongamos que en principio la densidades homogénea.
En el centro no hay equilibrio hidrostático porque en este supuesto habría presión pero no gravedad que comprima el gas.
El gas se expande desde el centro , disminuyendo su densidad y alejándose del núcleo en todas direcciones hasta que su densidad iguala a la del gas circundante.
Esto supone diferencia de densidad entre la superficie y el núcleo , produciendo corrientes de convección , siendo la densidad cero en el centro por tener gravedad cero y originando un volumen vacío en él. Como el ojo de un huracán.

Es sólo un planteamiento quizás atrevido , pero pudiera contener alguna idea válida. Espero no molestar.

¿Podría hacerse una simulación informatizada del problema ? Sería muy interesante.

[Alriga]

Masa de Jeans, Radio de Jeans

Hola Richard, he buscado y encontrado una vieja libreta de notas en la que tenía apuntes de Astronomía que escribí a principios de los 1990s. Por aquella época compré el libro de divulgación de Eduardo Battaner “Física de las noches estrelladas” (Tusquets Editores) y basándome en lo que allí decía y en otras lecturas de otros libros, tengo anotado más o menos lo siguiente:

Una estimación del tamaño de una nube de gas esférica, de densidad uniforme, que no gira, sin turbulencias, en la que no actúan campos eléctricos ni magnéticos, y que además no interacciona con el exterior, se podía realizar aplicando el Teorema del Virial, que dice que la nube estará en equilibrio cuando:

$2 \ E_c + E_p = 0$

En donde:

$E_p = - \dfrac{3 \ G \ M^2}{5 \ R}$

Es la energía de ligadura gravitatoria de la nube de gas, con M su masa y R su radio. En los apuntes tengo la deducción, pero no la copio porque puedes verla aquí: Energía de cohesión gravitacional

En equilibrio marcado por el Virial, la atracción gravitatoria es compensada por la energía cinética, que se puede estimar como:

$E_c = \dfrac 3 2 \ k_b \ T \ N$

Donde N es el número de átomos de la nube y T la temperatura. Si la masa de cada átomo es m y la masa de la nube M:

$N=\dfrac M m$

En equilibrio:

$3 \ k_b \ T \ \dfrac M m = \dfrac{3 \ G \ M^2}{5 \ R}$

Podemos poner el radio de la nube en función de la densidad:

$M=\rho \ \dfrac 4 3 \pi R^3$

$R=\sqrt[3]{\dfrac{3M}{4 \pi \rho}}$

Sustituyendo y despejando la Masa de la nube:

$M_J=\sqrt{\dfrac{3}{4 \pi \rho} \ \left ( \dfrac{5 \ k_b \ T}{G \ m} \right )^3}$

Si la masa de la nube es mayor que $M_J$ la nube colapsará gravitatoriamente. A esta masa se le llama Masa de Jeans, (y al radio de la nube Radio de Jeans), porque fue el astrónomo británico James Jeans quien publicó esta estimación por primera vez en 1902.

En su libro, Eduardo Battaner (que es un gran astrofísico español) propone como ejemplo numérico ilustrativo:

-Nube de hidrógeno $m = 1.6737 \times 10^{-27} \ kg$

-Situada en un brazo de una galaxia espiral, densidad de la nube 7 partículas por cm3 $\rho = \notcien{1.1716}{-20} \ kg/m^3$

-Con temperatura $T=100 \ K$

La constante de Boltzmann $k_b = \notcien{1.3806}{-23} \ J/K$

La constante de Gravitación $G = \notcien{6.674}{-11} \ N \cdot m^2 / kg^2$

Se obtiene que la masa (en masas solares Ms) y el diámetro (en años luz) de la nube colapsando es:

$M_J \simeq 35000 \ M_s$

$D = 2 \cdot R_J \simeq 237 \ a\tilde nos \ luz$

Y dice en su libro que estos valores concuerdan con la experiencia, puesto que las estrellas se forman en cúmulos abiertos, (como la Pléyades), de unas cuantas decenas de miles de estrellas.

No sé si esto puede ayudar en algo o liarte aún más, saludos.

[Richard R Richard]

Re: Equilibrio hidrostático y termodinámico

Excelente Alriga!!!!! $\notcien {1}{1000}$ gracias!!!!

Necesito revisar la base científica de lo que no comprendo o recuerdo, en este momento con una primer lectura.

Te comento que lo que has posteado junto con otro hilo , me sirve de mucho para entender otros hilos en los que hemos participado, que cuando tenga ideas mas claras, volveré a la carga...mmmmh donde he leido eso....

Saludos y gracias nuevamente por la predisposición, a ti y a los que participan del hilo con distintos enfoques.