2o ciclo Ejercicio de calcular la conductividad

[Anto]

Hola, buenas.

Estoy teniendo problemas con este ejercicio, creo que es porque estoy utilizando una fórmula incorrecta.

El enunciado es este: Para determinar la conductividad de una barra cilíndrica muy larga de diámetro d=2,5 cm se expone su base a una temperatura fija y se mide la temperatura en dos puntos distantes de la base y separados entre sí 30 cm, obteniéndose 150 ºC y 100 ºC respectivamente. Sabiendo que la barra está expuesta a un fluido a 20 ºC y el coeficiente de película es igual a 10 $\frac{W}{ m^2 K}$, determine la conductividad térmica de la barra.

Es un ejercicio del apartado de Aletas, pero no consigo ver que fórmula hay que utilizar.

Gracias de antemano y un saludo.

[Alriga]

Re: Ejercicio de calcular la conductividad

Tengo estos temas muy lejanos y muy oxidados, pero si no me equivoco creo entender que deberías aplicar:

Se define $\theta(x)=T(x) - T_{\infty}$

Con $T_{\infty}$ la temperatura del fluido, (273.16+20 K en este caso)

A = sección transversal del cilindro $A=\pi \ 0.0125^2$

P = perímetro transversal del cilindro $P=2 \ \pi \ 0.0125$

$\lambda$ = conductividad del material del cilindro

h = coeficiente de convección

Se define $m=\sqrt{\dfrac{h \cdot P}{\lambda \cdot A}}$

Entonces la ecuación diferencial que rige el fenómeno es:

$\dfrac{d^2\theta}{dx^2} - m^2 \ \theta = 0$

Cuya solución es:

$\theta (x)=c_1 \cdot e^{m \ x} + c_2 \cdot e^{- m \ x}$

Supongo que ahora, aplicando las condiciones de contorno del enunciado, debería salir:

x = 0 $\Rightarrow \ \theta = 150+273.16-(20+273.16)=130 \ K$

x = 0.3 $\Rightarrow \ \theta = 100+273.16-(20+273.16)=80 \ K$

$x = \infty$ $\Rightarrow \ \theta = 20+273.16 - (20+273.16) = 0 \ K$

Ello conduce a 3 ecuaciones con 3 incógnitas que son $c_1 , \ c_2$ y m. La conductividad $\lambda$ se deducirá fácilmente del valor hallado para m:

$c_1=0$

$c_2=130 \ K$

$m=1.61836 \ m^{-1}$

Saludos.

[Anto]

Re: Ejercicio de calcular la conductividad

Muchas gracias !

Una duda más que me ha surgido. Ya he conseguido el resultado de las dos constantes y de m. Sin embargo, a la hora de calcular k no sé como continuar. Me refiero a que en el enunciado nos dicen que es una barra muy larga y el perímetro sería $P = 4 (pi) r + 2 L$ y el Área transversal del cilindro sería $A = pi (r^2)$. Entonces ¿Cual es el valor de la L? (No he conseguido poner pi con LaTex, lo siento, creo que así se entenderá)

Las constantes me dan $C_1 = 0$, $C_2 = 130$ y $m = 1.62$

Gracias otra vez y un saludo.

[Alriga]

Re: Ejercicio de calcular la conductividad

El perímetro es el transversal, es decir $P=2 \pi r$ , así como el área es la transversal $A=\pi r^2$

(Nota: para escribir letras griegas en LaTeX, como por ejemplo $\pi$ , se pone una barra inclinada delante así: \pi) Recuerda que para ver como está escrita en LaTeX cualquier fórmula del foro, solo has de hacer doble click en ella.

Saludos.