1r ciclo Ciclo de gas ideal. Hallar Vc y Q, W, U en cada proceso.

[SCHRODINGER27]

Hola buenas, tengo problemas con el siguiente ejercicio:

Un gas ideal, inicialmente a 300 K, sigue la trayectoria ABCA representada en la figura, donde el proceso BC es isotérmico. a) Calcular el calor, el trabajo y la variación de energía interna para cada proceso. b) ¿Cuál sería el rendimiento de una máquina que realizará dicho proceso cíclico? c) Comprobar que se cumple el primer principio de la termodinámica. d) ¿Cómo resolverías el ejercicio si el proceso BC fuera adiabático? Datos: CV = 5 cal/mol·K

El problema trae una figura adjunta, que paso a describir:

Estado A:
P= 12 atm
V= 4.1 L

Estado B:
P=24 atm
V=4.1 L

Estado C:
P=12 atm
V= ¿? L

De A a B es una línea recta vertical en el diagrama PV, indicando que es un proceso isócoro. De B a C, decae con una curva isotérmica. Y de C a A, el volumen disminuye por una línea isóbara.

El apartado b) es fácil, puesto que simplemente es sumar y aplicar el primer principio de la termodinámica, que nos llevaría a c). El problema lo tengo en a), que no sé cómo hallar primero el volumen de C para posteriormente hallar trabajo, calor y energía interna de cada proceso. He intentado hallar los moles por la ecuación de gases ideales o aplicando relaciones entre procesos, pero siempre me falta algo y no puedo resolvero. Gracias de antemano.

[Alriga]

Re: Ciclo de gas ideal. Hallar Vc y Q, W, U en cada proceso.

... El problema lo tengo en a), que no sé cómo hallar primero el volumen de C ...

Si de B a C el proceso es isotérmico la Temperatura es la misma en ambos puntos $T_B=T_C=T$ y por lo tanto

$P_B V_B=n R T$

$P_C V_C=n R T$

$P_B V_B=P_C V_C$

$24 \cdot 4.1=12 \cdot V_C$

$V_C=8.2 \ l$

Saludos.

[SCHRODINGER27]

Re: Ciclo de gas ideal. Hallar Vc y Q, W, U en cada proceso.

Vale, ¿y cómo saco $T_B$?

[Alriga]

Re: Ciclo de gas ideal. Hallar Vc y Q, W, U en cada proceso.

Para calcular el apartado a) no necesitas saber la temperatura en B, como se ve en el post #2, pero si quieres calcularla:

$n R=\dfrac{P_A V_A}{T_A}=\dfrac{P_B V_B}{T_B}$

$V_A=V_B$

$\dfrac{P_A}{T_A}=\dfrac{P_B}{T_B}$

$\dfrac{P_A}{300}=\dfrac{P_B}{T_B}$

$\dfrac{12}{300}=\dfrac{24}{T_B}$

$T_B=600 \ K$

Saludos.

[SCHRODINGER27]

Re: Ciclo de gas ideal. Hallar Vc y Q, W, U en cada proceso.

Sólo una pequeña corrección, $T_B=T_C=600 K$. Aún así, no me sale lo que debería salir, se supone:

$\Delta U_1= C_v \Delta T$

$C_v = 5 cal/mol K$ habrá que pasarlo a Julios, ¿no? Se supone que ha de salir 12.5 kJ.

[Alriga]

Re: Ciclo de gas ideal. Hallar Vc y Q, W, U en cada proceso.

$\Delta U_1= C_v \Delta T$

No, si no recuerdo mal $\Delta U=n \ c_V \ \Delta T$

¿No te dan el dato del número de moles?

Saludos.

[SCHRODINGER27]

Re: Ciclo de gas ideal. Hallar Vc y Q, W, U en cada proceso.

No pero, calculando, creo que sale 0.02 moles aprox.

[Alriga]

Re: Ciclo de gas ideal. Hallar Vc y Q, W, U en cada proceso.

No pero, calculando, creo que sale 0.02 moles aprox.

$n=\dfrac{P_A \ V_A}{R \ T_A}=\dfrac{1.216 \cdot 10^6 \cdot 0.0041}{8.314 \cdot 300}=2 \ mol$

$\Delta U=2 \cdot 5 \cdot 4.184 \cdot (600-300)=12552 \ J=12.55 \ kJ$

( 1 cal =4.184 J )

Saludos.

[SCHRODINGER27]

Re: Ciclo de gas ideal. Hallar Vc y Q, W, U en cada proceso.

Vale, ya tengo el apartado a). Ahora tengo el apartado b) que lo he intentado y es $\eta=\dfrac{Q_t}{W_t}$ y, al hallar el calor total del ciclo y el trabajo total del ciclo, me sale un rendimiento que no es el 0.1 que pone en las soluciones. Estoy frustrado, puesto que es un simple cálculo. ¿Cómo se hace cuando la variación de energía interna en el ciclo no es nula?

[skynet]

Re: Ciclo de gas ideal. Hallar Vc y Q, W, U en cada proceso.

¿Cómo se hace cuando la variación de energía interna en el ciclo no es nula?

la energía interna es función de estado y en un ciclo el estado final es igual al estado inicial, de modo que la variación de energía interna de un ciclo siempre es nula.

el rendimiento será igual al trabajo obtenido por la máquina dividido por el calor que entra en ella, no es el calor total (el que entra menos el que sale), sino que es solo el que entra en ella, además la división es a la inversa de como tú lo has expresado [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[SCHRODINGER27]

Re: Ciclo de gas ideal. Hallar Vc y Q, W, U en cada proceso.

Pues entonces no sé qué hay mal, porque los resultados que obtengo son:

$W_{AB}= 0 kJ$
$Q_{AB}= 12.5 kJ$
$\Delta U_{AB}= 12.5 kJ$

$W_{BC}= 6.9 kJ$
$Q_{BC}= 6.9 kJ$
$\Delta U_{BC}= 0 kJ$

$W_{CA}= 4.9 kJ$
$Q_{CA}= -17.5 kJ$
$\Delta U_{CA}= -22.4 kJ$

Y, da un total de:

$W_{t}= 11.8 kJ$
$Q_{t}= 1.9 kJ$
$\Delta U_{t}= -3 kJ$

Con lo que el rendimiento me sale de: $\eta=\dfrac{W_t}{Q_e}=\dfrac{0+6.9+4.9}{12.5+6.9}=0.61$. Se supone que debería dar 0.1

[skynet]

Re: Ciclo de gas ideal. Hallar Vc y Q, W, U en cada proceso.

no es el calor total, es solo el que entra (el positivo)

además la variación de energía interna tiene que ser cero, repasa los cálculos

[SCHRODINGER27]

Re: Ciclo de gas ideal. Hallar Vc y Q, W, U en cada proceso.

Pues no sé qué esta mal, lo he repasado todo varias veces y no consigo ver el fallo, yo lo veo correcto. Si alguien pudiera ayudarme, gracias de antemano.

[Alriga]

Re: Ciclo de gas ideal. Hallar Vc y Q, W, U en cada proceso.

Si no me equivoco:

$A \rightarrow B$

$P_A=12 \ atm$ y $V_A=4.1 \ l$

$P_B=24 \ atm$ y $V_B=4.1 \ l$

$W_{AB}=0$

$Q_{AB}=n \ c_V \ \Delta T=2 \cdot 5 \cdot 4.184 \cdot (600-300)=12552 \ J$

$\Delta U=12552 \ J$

$B \rightarrow C$

$P_B=24 \ atm$ y $V_B=4.1 \ l$

$P_C=12 \ atm$ y $V_A=8.2 \ l$

$W_{BC}=-n R T_B \ \ln \dfrac{V_C}{V_B}=-2 \cdot 8.314 \cdot 6000 \ \ln \dfrac{8.2}{4.1}=-6915 \ J$

$\Delta U=0$

$Q_{BC}=-W_{BC}=6915 \ J$

$C \rightarrow A$

$P_C=12 \ atm$ y $V_A=8.2 \ l$

$P_A=12 \ atm$ y $V_A=4.1 \ l$

$W_{CA}=-P_A \ (V_A-V_C)=-1.216 \cdot 10^6 (0.0041-0.0082)=4986 \ J$

$Q_{CA}=n \ c_P \ \Delta T$

$c_P=c_V+R=5 \cdot 4.184+8.314=29.23 \ J/(mol \ K)$

$Q_{CA}=2 \cdot 29.23 \ (300-600)=-17540$

$\Delta U=-12552 \ J$

El trabajo y el calor

$W=W_{BC}+W_{CA}=-6915+4986=-1930 \ J$

$Q=Q_{AB}+Q_{BC}=12552+6915=19467 \ J$

El rendimiento

$\eta=\dfrac{|W|}{|Q|}=\dfrac{1930}{19467}=9.91\%$

Saludos.

[SCHRODINGER27]

Re: Ciclo de gas ideal. Hallar Vc y Q, W, U en cada proceso.

Vale, la única duda está en el proceso CA. La energía interna en ese proceso debe valer -12.5 kJ, sólo así se cumple que en el ciclo la variación de energía interna es nula. Pero para eso, hay que tomar el calor del proceso CA en valor absoluto, ¿a qué se debe eso?

Alriga, gracias por la respuesta pero, en el proceso BC, ¿por qué el trabajo y el calor tienen diferente signo? Por el primer principio de la termodinámica $\Delta U= Q - W$, se llega a que deben ser iguales en proceso isotermo, ¿no?