2o ciclo Problema tablero de ajedrez

[Wakusei]

Buenas, he visto este problema de microcanónica y la verdad es que no tengo mucha idea de por donde cogerlo:

Considere un gas ideal clásico bidimensional de N partículas de masa m y energía E contenido en un recinto de área A. El recinto es una cuadrícula de 8x8 celdas (un tablero de ajedrez) la mitad de las cuales están ocupadas uniformemente (las negras) y la otra mitad vacías (las blancas). Determinar la diferencia entre la entropía por partícula de este estado y la entropía por partícula del estado que se obtiene de rellenar uniformemen todas las celdas con el gas.

Si rellenamos uniformemente el tablero, sería lo equivalente a un gas ideal en 2D en un recinto de área A, hasta ahí bien. Pero lo que no se como hacer es cuando solo está el gas en las casillas negras. ¿Cómo sería el potencial para meter en el Hamiltoniano?, ¿Puedo considerar solamente un cuadrado lleno y luego decir que en total hay 32 iguales y la suma de cada uno individual daría el conjunto?

Gracias por la ayuda,
Un saludo!

[Mossy]

Re: Problema tablero de ajedrez

Hola,

se me ocurre que si las partículas ocupan uniformemente las casillas negras simplemente tendrás un gas ideal en 2D encerrado en un área A/2, pues las casillas negras constituyen la mitad del área total. Tendrás N/32 partículas en cada casilla negra y 0 en cada casilla blanca.

[arivasm]

Re: Problema tablero de ajedrez

Comenzaré diciendo que no estoy totalmente seguro de la validez de lo que voy a escribir... Pero espero que pueda servir, al menos para aportar debate.

Puesto que cada partícula es independiente de las demás, y tiene 32 posibilidades de ocupación en el primer caso y 64 en el segundo, el número de microestados será $32^N$ y $64^N$, respectivamente. De acuerdo con la ecuación de Boltzmann, en el primer caso la entropía por partícula es $k\ln 32$, mientras que el segundo es $k\ln 64$. Por tanto, la diferencia entre ambas es $k(\ln 64-\ln 32)=k\ln 2$

Insisto, si es una tontería lo que he escrito, además de agradecer a quien me lo haga ver, ruego que se me disculpe y valore la intención.

[Wakusei]

Re: Problema tablero de ajedrez

Estoy de acuerdo con Mossy.

Tras mucho pensarlo he llegado a la conclusión de que como las partículas no interaccionan entre sí, y la entropía es aditiva, da igual como estén distribuidas; casillas negras, blancas, u ocupando medio tablero. Si el gas está uniformemente distribuido sobre el todo el tablero serían N partículas en un área A, y si están solo en las casillas negras sería la suma de las 32 casillas cada una de ellas de área A/64 y N/32 partículas.

En cuanto a lo que tu dices arivasm, creo que no es correcto. Ya que no es que haya una partícula en cada casilla...hay muchísimas. Hay que utilizar la descripción microcanónica para ver como es \phi (E,N,A) (el volumen del espacio de fases) y usar eso dentro del logaritmo de la ecuación de Boltzmann.

Gracias por los comentarios!

- - - Actualizado - - -

Después de hacerme todo el calculote con la microcanónica he llegado a la solución a tu solución, arivasm. Te debo una disculpa. No me queda lo mismo dentro de los logaritmos, pero si la diferencia.

Sin duda he aprendido un montón haciendo este problema. Muchas gracias compañeros!

Un saludo