Secundaria Duda sobre un ejercicio de equilibrio de temperatura

[RmsAdd]

El problema es el siguiente:

Un cubo de hielo de 200 g de masa, cuya temperatura es de -150 ºC, se coloca en un recipiente que contiene 500 g de agua a 20 ºC. Encontrar la cantidad de hielo y la temperatura cuando se llega al equilibrio, suponiendo que el sistema se encuentra aislado termicamente.
Datos:

• Calor especifico del hielo: Ch = 2090 J/kg K;
• Calor especifico del agua: Ca = 4184 J/kg K;
• Calor latente de fusion del hielo: L = 3.33x10⁵ J/kg

Yo planteo que el calor entregado por el agua es el mismo calor que recibe el hielo.

$$<br /> \begin{aligned}<br /> Q_{h}&=-Q_{a} \\<br /> m_{h} \cdot C_{h} \cdot \Delta T_{h} & = -m_{a} \cdot C_{a} \cdot \Delta T_{a} \\<br /> \end{aligned}<br />$$

Ambas masas terminan con las misma temperatura.

$$m_{h} \cdot C_{h} \cdot (T_{f}-T_{ih}) & = -m_{a} \cdot C_{a} \cdot (T_{f}-T_{ia})$$

Entonces despejo la temperatura final.

$$T_{f}&=\frac{m_{h} \cdot C_{h} \cdot T_{ih}+m_{a} \cdot C_{a} \cdot T_{ia}}{m_{h} \cdot C_{h}+m_{a} \cdot C_{a}}$$

$$T_{f}&=\frac{0.2 \text{ Kg } \cdot 2090 \frac{\text{ J }}{\text{ Kg K }} \cdot 123 \text{ K } + 0.5 \text{ Kg } \cdot 4184 \frac{\text{ J }}{\text{ Kg K }} \cdot 293 \text{ K } }{0.2 \text{ Kg } \cdot 2090 \frac{\text{ J }}{\text{ Kg K }} + 0.5 \text{ Kg } \cdot 4184 \frac{\text{ J }}{\text{ Kg K }}}$$

$$T_{f}&=264.69 \text{ K }$$

Entonces ambos cuerpos llegan a una temperatura de 264.69[K] (-8.5 ºC) que es menor a 0[ºC] ¿Eso quiere decir que el hielo no se derrite? ¿O hay algun problema en el planteo del ejercicio?

[arivasm]

Re: Duda sobre un ejercicio de equilibrio de temperatura

El estado final posible para este ejercicio es alguno de los siguientes:

• hielo, por debajo de 0ºC
• una mezcla de agua y hielo a 0ºC
• agua líquida, por encima de 0ºC

En cada caso las ecuaciones a emplear son diferentes. Por ejemplo, si se trata del caso 1 has de considerar que la masa original de hielo simplemente se calienta, mientras que la original de agua líquida se enfría hasta 0ºC, se congela y se enfría hasta la temperatura final.

En el segundo, el hielo se calienta hasta 0ºC y se funde (parcialmente o completamente, o no), mientras que el agua se enfría hasta 0ºC y se solidifica parcialmente (parcialmente o completamente, o no).

En el tercero, la masa original de hielo se calienta hasta 0ºC, se funde completamente y se calienta hasta la temperatura de equilibrio, mientras que el agua inicialmente líquida se enfría hasta la misma.

Para hacernos una idea de cuál puede ser calcularemos antes qué cantidad de calor hace falta para llevar el hielo hasta los 0ºC (62700 J) así como la cantidad de calor que se desprende al enfriar el agua líquida hasta esa temperatura (41800 J).

[En lo que sigue se producen dos errores que se derivan de manejar incorrectamente el calor latente de fusión como 33300 J/kg en lugar de 333000 J/kg]
Como vemos, la cantidad de calor que se desprende al enfriar el agua es inferior a la que hace falta para calentar el hielo. La diferencia entre ambas cantidades (20900 J) es suficiente como para congelar 627 g de agua [El valor correcto no es éste, sino 62,7 g], superior a los 500 g de agua que se enfrían. Esto significa que el sistema no terminará a 0ºC, con una mezcla de hielo y agua.

Por tanto, la situación final es todo hielo. Los 500 g de agua desprenderán los 41800 J antes citados al enfriarse hasta 0ºC, así como 16650 J al congelarse [De nuevo este valor es erróneo, pues el correcto serían 166500 J]. A partir de ahí tenemos un problema de enfriamiento de 500 g de hielo desde 0ºC y uno de calentamiento de 200 g de hielo, desde -150 ºC:

$0,15\ {\rm kg}\cdot 2090\ {\rm J/(kg\cdot \ºC)} (T+150\º)=41800\ {\rm J}+16650\ {\rm J}-0,5\ {\rm kg}\cdot 2090\ {\rm J/(kg\cdot \ºC)}\ T$

De aquí resulta $T=-19,3\ {\rm \ºC}$

[RmsAdd]

Re: Duda sobre un ejercicio de equilibrio de temperatura

¡Hola @arivasm! Antes que nada, ¡Muchas gracias por su ayuda! me hizo comprender mi error.

Entonces ambos cuerpos llegan a una temperatura de 264.69[K] (-8.5 ºC) que es menor a 0[ºC]

¡Es imposible que exista agua a esa temperatura suponiendo condiciones normales!

Ahora bien, con respecto a su planteo, no entendí bien esta parte:

Como vemos, la cantidad de calor que se desprende al enfriar el agua es inferior a la que hace falta para calentar el hielo. La diferencia entre ambas cantidades (20900 J) es suficiente como para congelar 627 g de agua, superior a los 500 g de agua que se enfrían. Esto significa que el sistema no terminará a 0ºC, con una mezcla de hielo y agua.

A mi sentido común, suena un poco contradictorio. Digo, si la cantidad de calor que desprende el agua no puede calentar el hielo hasta los 0 ºC, quiere decir que el agua se enfriara hasta los 0 ºC y el hielo se calentará un poco (pero no tanto como para llegar a 0 ºC) ¿bien? A mi entender esto significa que el sistema SI PUEDE terminar con una mezcla de agua y hielo a 0º C. Porque el hielo comenzara a quitarle calor al agua, congelando así parte del agua, en ese proceso la temperatura del hielo podria incrementar hasta los 0 ºC.

En caso de que me equivoque, por favor. ¿Podria usted explicar más detalladamente su planteo?

Si estoy en lo correcto, es decir, que no se puede descartar la posibilidad de que terminemos con una mezcla de hielo y agua a 0ºC. La solución al problema la continuaria como sigue:

---

Como usted dijo, el agua desprende 41800 J para llegar a 0 ºC.
Esa energia la tiene que absorber el hielo, entonces calculo a que temperatura queda el hielo una vez absorbida esa energía.

$$Q=m_{h} \cdot C_{h} \cdot \Delta T$$

$$Q=m_{h} \cdot C_{h} \cdot T_{f} - m_{h} \cdot C_{h} \cdot T_{i}$$

$$T_{f}=\frac{Q+m_{h} \cdot C_{h} \cdot T_{i}}{m_{h} \cdot C_{h}}$$

$$T_{f}=\frac{<br /> 41800 \text{ J } + 0.2 \text{ Kg } \cdot 2090 \frac{\text { J }}{\text{ Kg } \cdot \text{ K }} \cdot 123 \text{ K }<br /> }{<br /> 0.2 \text{ Kg } 2090 \frac{\text { J }}{\text{ Kg }}}$$

$$T_{f}=223 \text{ K } \equiv -50 \text{ C }$$

Es decir que cuando el agua libera energia para llegar a los 0ºC, el hielo absorbe esa energia y se calienta hasta llegar a los -50 ºC.
El hielo sigue estando a menor temperatura que el agua, por lo tanto seguira quitandole energia, para llegar a 0ºC el hielo necesitaria quitarle:

$$Q=0.2 \text{ Kg } \cdot 2090 \frac{ \text{ J }}{\text{ Kg } \cdot \text{ K }} \cdot 50 \text{ K }$$

$$Q=20900 \text{ J }$$

Como el agua esta a 0ºC quitarle 20900 J significa congelar parte de su masa:

$$-20900 \text{ J }=m_{a} \cdot 3.33 \times 10^{5} \frac{ \text{ J }}{\text{ Kg }}$$

$$m_{a}= \frac{ -20900 \text{ J } }{3.33 \times 10^{5} \frac{ \text{ J }}{\text{ Kg }}}$$

$$m_{a}=-0.062 \text{ Kg } \equiv -62 \text{ g }$$

Lo que quiere decir que teminamos con agua y hielo a 0ºC. Con 262 g de hielo y 438 g de Agua

[Richard R Richard]

Re: Duda sobre un ejercicio de equilibrio de temperatura

Hola de un modo sencillo puedes ver que la cantidad necesaria de calor para que el cubo de hielo pase de -150°c a 0°c es

$Q_h=m_hC_{eh}(T_{fh}-T_{ih})=0.2kg2090J/kg\°c(0\°c-(-150\°c))=62700 J$

y la cantidad maxima de calor que puede ceder el agua liquida es

$Q_a=m_aC_{ea}(T_{fa}-T_{ia})=0.5kg4184J/kg\°c(0\°c-20\°c)=-41840 J$

hay un faltante de 20860J que debe ser aportados por la solidificación del agua en hielo

$Q_h+Q_a=20860J=m_sL\quad\mapsto\quad m_s=\dfrac {20860J}{\notcien{3.33}{5}J/kg}=0.0626kg$

el sistema termina en equilibrio hielo mas agua a 0°c

la masa de agua entonces se reduce a $m_{fa}=m_a-m_s=0.4374kg$

y la de hielo se incrementa a $m_{fh}=m_h+m_s=0.2626kg$

[RmsAdd]

Re: Duda sobre un ejercicio de equilibrio de temperatura

¡Hola @Richard R Richard! Gracias por tu respuesta. Pusiste las cosas sencillas y claras. Entonces el problema queda solucionado.

Realmente agradezco la ayuda de ambos.

[arivasm]

Re: Duda sobre un ejercicio de equilibrio de temperatura

Como he escrito en mi mensaje anterior, cometí un error al manejar el calor latente de fusión del hielo (usé 33300 J/kg, en lugar de 333000 J/lg).

De todos modos, dejo el mensaje tal cual lo escribí, pues señala el camino que habría que seguir si esa cifra fuese correcta, que afectaría a la cantidad de agua que cambiaría de estado y al calor desprendido al congelarse los 500 g de agua líquida.