2o ciclo Flujo de calor

[JLC]

Hola, he intentado resolver este problema pero tengo inseguridades con respecto a lo que debo integrar ( si es que de ese modo se resuelve ), debo dejar la rpta en función a los datos y a las constantes:


"El aire sobre la superficie de un lago está a una temperatura Ts mientras que el agua está en su
punto de congelación. Ts es mayor que el punto de congelación. El flujo de calor por conducción a través de la
capa de hielo hace que el hielo se derrita. ¿Cuál es el tiempo “t” que ha de transcurrir para que el espesor de la
capa de hielo, que inicialmente es “L” disminuya a “4L/5”?
DATOS: ρ = densidad del hielo, CL = calor de fusión del hielo, k = conductividad térmica del hielo.

[Dj_jara]

Re: Flujo de calor

Sería mejor que mostraras lo que has intentado hacer, el problema se puede simplificar mucho, suponiendo sólo conducción o complicarse añadiendo convección, suponiendo que el aire tiene cierta velocidad, calculo de los coeficientes de convección mediante expresiones fenomenológicas usando números adimensionales, etc.... Así que mejor que muestres lo que has intentado, antes que alguien consideré el problema como uno "segundo ciclo" (como has indicado) de ingeniería y te acabe liando en vez de ayudarte.

[Richard R Richard]

Re: Flujo de calor

Como te advierte Dj_jara existe una solución aplicando ecuaciones diferenciales, pero puede no sea el objetivo del problema y por ello y por otra razón que posteo al final, no lo habia hecho hasta el momento. Por un lado sabes que el calor total intercambiado $\Delta Q$ es

$\Delta Q=mC_L=\rho A(L-\frac45L)C_L=\frac15\rho ALC_L$


y a la vez sabes que siempre se cumple que

$\frac{\partial Q}{\partial t}=\dfrac{KA \Delta T}{x}$

puedes suponer que la tasa con que varia el espesor es $V=\dfrac{L}{5\tau}$ donde tau es el tiempo que queremos averiguar

el espesor x en función del tiempo sera $x=L-Vt=L-\dfrac{L}{5\tau}t$

luego integras

$\dst \Delta Q=\int \dd Q=\int\limits_{0}^{\tau}\dfrac{KA \Delta T}{L(1-\dfrac{t}{5\tau})} \dd t$

$\Delta Q=KA \Delta T 5\tau \ln\frac54$

igualando

$\frac15\rho ALC_L=\dfrac{KA \Delta T}{L} 5\tau \ln\frac54$

$\tau=\dfrac{\rho LC_L^2}{K \Delta T 5^2 \ln\frac54}$

Si se intenta resolver el problema suponiendo que el espesor se hace nulo se llega al problema de el flujo de calor es infinito, dando tiempo nulo, pero se arriba esto por usarse fuera del contexto aplicable la ecuación de fourier, al estilo de que sucede al aplicar las leyes de gravitación y de coulomb para radio nulo.

Otro método seria hallar el valor medio del flujo de calor de la ecuación de fourier entre esos espesores, y dividir el cal necesario total por el flujo medio ,dando así un tiempo promedio.

[Dj_jara]

Re: Flujo de calor

el espesor x en función del tiempo sera $x=L-Vt=L-\dfrac{L}{5\tau}t$

Ahí, estas suponiendo que la variación del espesor es lineal con el tiempo, lo cual no creo que sea el objetivo del problema. Sobre todo, porque el calor se usa en fundir el hielo, así que realmente ya tienes una expresión para la relación entre el espesor y el tiempo (sólo hay que obtenerla). El problema que te da si buscas el tiempo cuando el espeso se hace 0 es debido a esa incongruencia. Simplemente mira la ecuación de Fourier, no es lo mismo cuando el espesor es 0.0001 o 10000, el flujo de calor varía significativamente mientras se funde y con ello la variación del espesor. Aunque creo que es más divertido si se añade también convección como tocaría para un problema de ingeniería de intercambio de masa y calor.