1r ciclo Modulo de compresibilidad

[jssln]

Buenos dias, me ayudais con la resolución de este problema.

Cierto sistema a muy baja temperatura cumple las ecuaciones de estado $u = \frac{3pv}{ 2}$ y $p = {au}^{\frac{5}{2 } }$ donde a es una constante. La compresibilidad de este sistema es $\kappa = -(\frac{1}{\nu })(\frac{d\nu}{dp })$.
Si se representa $ln \kappa$ frente a $ln \nu$ se obtiene una linea recta. ¿Cuál es la pendiente de dicha recta? (La figura muestra el modulo de compresibilidad, $\frac{1}{\kappa }$)

[Richard R Richard]

Re: Modulo de compresibilidad

Cierto sistema a muy baja temperatura cumple las ecuaciones de estado.... y ${au}^{\frac{5}{2 } }$ donde a es una constante.

revisa esa ecuación de estado debería estar igualada a otro termino no sola como la escribes...

La compresibilidad de este sistema es $-(\frac{1}{\nu })(\frac{d\nu}{dp })$.

es decir $\kappa=-(\frac{1}{\nu })(\frac{d\nu}{dp })$ ????

Si se representa $ln \kappa$ frente a $ln \nu$ se obtiene una linea recta. ¿Cuál es la pendiente de dicha recta? (La figura muestra el modulo de compresibilidad, $\frac{1}{\kappa }$)

la pendiente seria $\dfrac{ln{\kappa}}{ln{\nu}}$ si al numerador y al denominador los elevo exponencialmente mantengo la relación


$K \dfrac{\ee^{ln{\kappa}}}{\ee^{ln{\nu}}}=K\dfrac{\kappa}{\nu}$ donde $K<0$ pues la pendiente es negativa si representara la inversa del modulo $\kappa$ la pendiente sería positiva---

[jssln]

Re: Modulo de compresibilidad

Muchas gracias, si he solucionado los errores que faltaban en el texto, he seguido el procedimiento que me indicas pero la solución es 5/3 y no la obtengo.

[Alriga]

Re: Modulo de compresibilidad

... Si se representa $\ln \kappa$ frente a $\ln v$ se obtiene una linea recta. ¿Cuál es la pendiente de dicha recta? ...

$u=\dfrac 3 2 \ p v$

$p=a \ u^{5/2}$

Combinando y simplificando:

$p=a \ \left (\dfrac 3 2 \ p v \right )^{5/2}$

$p=c_1 \ v^{-5/3}$

Derivando:

$\dfrac{dp}{dv}=-c_2 \ v^{-8/3}$

Recordando la derivada de la función inversa:

$\dfrac{dv}{dp}=\dfrac 1{\dfrac{dp}{dv}}$

$\dfrac{dv}{dp}=-c_3 \ v^{8/3}$

La definición de compresibilidad

$\kappa=-\dfrac 1 v \ \dfrac{dv}{dp}$

$\kappa=-\dfrac 1 v \left (-c_3 \ v^{8/3} \right )$

$\kappa=c_3 \ v^{5/3}$

Haciendo logaritmos

$\ln \kappa=\dfrac 5 3 \ln v + \ln c_3$

$$\boxed{\ln \kappa=\dfrac 5 3 \ln v + c}$$

Por lo tanto la pendiente de la recta $\ln \kappa$ vs $\ln v$ es 5/3

Saludos.

[Richard R Richard]

Re: Modulo de compresibilidad

Elige 2 puntos de la recta (AyB) y has directamente
$\tan\alpha=\dfrac{ln y_B-\ln y_A}{ln x_B-\ln x_A}$
$A=(60,13)$
$B=(12,170)$
$\tan\alpha=\dfrac{ln 170-\ln 13}{ln 12-\ln 60}=-1.59$

Edito: Alriga la pendiente es negativa supongo que es porque representaron la inversa.?

[Alriga]

Re: Modulo de compresibilidad

... Alriga la pendiente es negativa supongo que es porque representaron la inversa? ...

Sí, observa que lo dice el enunciado:

La figura muestra el modulo de compresibilidad

$\boldsymbol{\dfrac{1}{\kappa}}$

Saludos.