1r ciclo Caracter intensivo o extensivo de las variables

[jssln]

Sigo encontrándome con cuestiones teóricas, que no termino de entender de este tema, si alguien puede ayudarme sería muy amable. Este es el enunciado.

En su libro $Elementary principles in Statistical Mechanics$, J. W. Gibbs comentó la función entropía $S(T, V, n)$ de un gas ideal monoatómico con el siguiente argumento. Consideremos un recipiente de volumen 2V que contiene una cantidad 2n a temperatura T. Su entropía es $S(T, 2V, 2n)$. Si lo dividimos, real o imaginariamente, por la mitad de tal modo que cada parte tenga una cantidad n de gas a temperatura T en su volumen V, la entropía del conjunto debe seguir siendo la misma pues no ha cambiado el estado del gas. Sin embargo, algunas expresiones de la entropía del gas ideal conducen al resultado erróneo

$S(T, 2V, 2n) \neq S(T, V, n) + S(T, V, n)$,

el cual se conoce como $la paradoja de Gibbs$. Considera, en concreto, la expresión

$S(T, V, n) = nR (\frac{5}{ 2} + ln\frac{V}{ \Lambda ({T}^{ 3})})$,

donde $\Lambda(T)$ es una función con dimensiones de longitud que depende de la temperatura T del gas y de su naturaleza. Esta expresión predice

$S(T, 2V, 2n) = 2nR(\frac{5}{ 2} + ln\frac{2V}{ \Lambda ({T}^{ 3})}) \neq 2nR(\frac{5}{ 2} + ln\frac{V}{ \Lambda ({T}^{ 3})}) = S(T, V, n) + S(T, V, n)$.

Analiza el carácter intensivo o extensivo de las variables, discute por qué es incorrecta esta expresión de $S(T, V, n)$. Modificala de modo que $S(T, 2V, 2n) = 2S(T, V, n)$.

[Dj_jara]

Re: Caracter intensivo o extensivo de las variables

La entropía debe ser extensiva, por tanto$S(T, 2V, 2n) =S(T, V, n) + S(T, V, n)$, pero como ves utilizando esa expresión para la entropía no se obtiene que sea extensiva. Eso ocurre porque para esa expresión se considera que dos partículas del gas no son idénticas, por ejemplo imagina que tienes una bolsa con 4 bolas (2 negras y 2 blancas) y sacas aleatóriamente 2 bolas, qué opciones tienes?
1) 1 Negra, 1 Blanca
2) 1 Blanca, 1 Negra
3) 2 Negras
4) 2 Blancas

Si te importa el orden en el que salen, diríamos que hay 4 posibilidades.

Pero que sucede si todas las bolas son del mismo color? Entonces sólo tiene 1 posibilidad.

Cuando consideras los átomos como partículas idénticas, has de tener en cuenta un n! al calcular el número de microestados. Si lo haces, obtienes la ecuación de Sackur-Tetrode, donde dentro del logaritmo aparece V/n. con lo cual 2V/(2n) = V/n.