2o ciclo Problema ley de Fourier

[The Higgs Particle]

Hola, tengo un problema en el que hay una esfera con una corteza maciza y un núcleo hueco. La corteza maciza tiene un coef. de conducción $\kappa$, y el núcleo se ha rellenado con hielo a $T_{in} = -23^{\circ} C$, mientras que el exterior de la esfera está a $T_{ext}=27^{\circ} C$. Debido a esta diferencia de temperaturas, va a haber un flujo de calor por conducción, y me piden el tiempo que tarda en llegar a 0ºC el hielo.

Se me han ocurrido dos formas de hacerlo, una que no consigo terminar y otra que me parece tan rebuscada que sólo la he dejado planteada.

1) La primera era plantear la ecuación de difusión para el calor, con esas condiciones iniciales y buscar la solución estacionaria, de modo que resolvería la EDP con el problema de Sturm-Liouville asociado, pero me parece demasiado hardcore.

2) La segunda era con la Ley de Fourier normal:
Sabemos que el calor suministrado en ese tiempo $t$ tiene que ser el mismo responsable del aumento de temperatura (ya que despreciamos cambios de volumen):

$\dst \int_0^t Q' \dd t = m c_e \Delta T_f$ (1)

donde:

$m$=masa del hielo
$c_e$ = calor específico del hielo
$\Delta T_f$ = diferencia de calor estacionaria (0ºC - (-23ºC))

y, por la Ley de Fourier (en esféricas):

$\dst \frac{\dd Q}{\dd t}= - \kappa 4 \pi r^2 \frac{\partial T}{\partial r} \to Q' = 4 \pi \kappa \Delta T(t) \cdot \left( \frac{1}{r_{ext}}- \frac{1}{r_{in}} \right)^{-1}$ (2)

Así, por (1):

$\dst \int^t_0 4 \pi \kappa \Delta T(t) \cdot \left( \frac{1}{r_{ext}}- \frac{1}{r_{in}} \right)^{-1} \dd t= m c_e \Delta T_f$

Pero tengo que la diferencia de temperatura entre el exterior y el interior no es constante en el tiempo, pues por conducción se va calentando el hielo. Sin embargo, no sé cómo expresar matemáticamente esa dependencia temporal y, por lo tanto, no consigo hacer la integral.

Cualquier ayuda sería bienvenida

[JCB]

Re: Problema ley de Fourier

Hola.

Tal vez sea un disparate lo que voy a decir, pero quizás podría suponerse que el calentamiento sigue una ley parecida a la de enfriamiento de Newton:

$\dfrac{dT(t)}{dt}=-k(T-T_f)$