1r ciclo Atmósfera isoterma

[jssln]

Hoy me he encontrado con esta dificultad, si alguien es tan amable de ayudarme.

Suponiendo una atmósfera isoterma con una temperatura de -33 ºC y una presión en la superficie de 1000 hPa, calcula los niveles en los que la presión toma valores de 100, 10 y 1 hPa. ¿Qué espesor total tiene esta atmósfera isoterma?

[Alriga]

Re: Atmósfera isoterma

Gases ideales:

$$p=\dfrac{\rho}{\mu} R T$$

$\rho_0=\dfrac{p_0 \ \mu}{R \ T}=\dfrac{100000 \cdot 0.029}{8.314 \cdot 240}=1.4534 \ kg/m^3$

Atmósfera Isoterma $\Longrightarrow$ T=constante. Utilizando la expresión (1) de gas ideal:

$\dfrac p{p_0}=\dfrac{\rho}{\rho_0}=cte$

$$\rho=\rho_0 \dfrac p{p_0}$$

La ecuación de la hidrostática:

$dp=-\rho \ g \ dz$

Sustituyendo (2):

$dp=-\rho_0 \dfrac p{p_0} g \ dz$

$\dfrac{dp}p=-\dfrac{\rho_0}{p_0} g \ dz$

Integrando:

$\ln \dfrac p{p_0}=-\dfrac{\rho_0}{p_0} g \ z$

$$p(z)=p_0 \cdot \exp \left (-\dfrac{\rho_0 \ g}{p_0} \ z \right )$$

$$\rho (z)=\rho_0 \cdot \exp \left (-\dfrac{\rho_0 \ g}{p_0} \ z \right )$$

Despejando la altura de (3):

$$z=-\dfrac{p_0}{\rho_0 \ g}\ln \dfrac p{p_0}$$

Las alturas que nos piden:

p	z
100000 Pa	0 m
10000 Pa	16166 m
1000 Pa	32333 m
100 Pa	48499 m

El espesor de la atmósfera sería la altura a la que la densidad se haría cero. De la expresión (4) correspondiente a la atmósfera isoterma, se observa que la densidad tiende asintóticamente a cero, pero no lo alcanza nunca por mucha altura a la que estemos, luego rigurosamente, el espesor es infinito.

En este tipo de ecuaciones exponenciales se suele considerar un "punto especial" el que el valor inicial queda dividido por el número "e" No sé si esa es la intención del enunciado al preguntar el espesor, ese punto se da cuando el exponente es -1

$z=\dfrac{p_0}{\rho_0 \ g}=7021 \ m$

Saludos.

[jssln]

Re: Atmósfera isoterma

Muchisimas gracias por la explicación, gracias a ella he entendido muy bien el propósito del ejercicio.