1r ciclo Atmósfera hidrostática

[jssln]

Buenas, me podriasi ayudar con este problema:

Considera una atmósfera hidrostática cuya presión p varía con la altura z de acuerdo con:
$p (z) = \frac{{p}_{0 }}{( 1 + {(\frac{z}{H }}^{ 2})}$
siendo ${p}_{ 0}$ la presión a nivel del mar y H la escala de alturas.

a) Determina la variación de la temperatura con la altura. Discute el resultado.
b) Evalua a qué altura el gradiente de temperatura vale 10 ºC ${km}^{-1 }$

[Richard R Richard]

Re: Atmósfera hidrostática

Hola usa dfrac en vez de frac para qu se vea así la formula que supongo quisiste poner...

$p (z) = \dfrac{{p}_{0 }}{ 1 + {(\dfrac{z}{H }})^{ 2}}$

haz la derivada de la presión respecto de la altura , eso es igual a menos la gravedad por la densidad

$\dfrac{\partial p (z) }{\partial z}= \dfrac{-{p}_{0 }2z}{ H\left(1 + (\dfrac{z}{H })^{ 2}\right)^{ 2}}=-\rho g$

reemplaza la densidad a lo que obtienes por la ecuación de los gases ideales,

$\rho=\dfrac{\mu p (z)}{RT}$

$\dfrac{-{p}_{0 }2z}{ H^2\left(1 + (\dfrac{z}{H })^{ 2}\right)^{ 2}}=-\dfrac{\mu p (z) g}{RT}$

despeja la temperatura que te quedara en función de z

$T=\dfrac{\mu p (z) g}{R\dfrac{{p}_{0 }2z}{ H^2\left(1 + (\dfrac{z}{H })^{ 2}\right)^{ 2}}}$

sabiendo que $\dfrac{p (z)}{{p}_{0 }}= \dfrac{1}{ 1 + {(\dfrac{z}{H }})^{ 2}}<br />$

$T (z)= \dfrac{\mu g H^2\left(1 + (\dfrac{z}{H })^{ 2}\right)}{2Rz}$


luego sacas la derivada de T respecto de z ....

$\dfrac{\partial T (z) }{\partial z}= \dfrac{\mu g H^2}{2R}\dfrac{\left( (\dfrac{z}{H })^{ 2}-1\right)}{z^2}= \dfrac{\mu g H^2}{2R}\left( \dfrac{1}{H^{ 2} }-\dfrac{1}{z^{ 2} }\right)$




en b solo iguala reemplaza el valor del enunciado en lo que vale la derivada, y despeja z.

$10= \dfrac{\mu g }{2R}\left( 1-\dfrac{H^2}{z^{ 2} }\right)$

revisa todo el planteo y si las unidades se corresponden yo no lo he hecho,

[jssln]

Re: Atmósfera hidrostática

Muchas gracias, tu explicación me ha ayudado mucho.