2o ciclo Cambio de fase de primer orden

[Visitante]

Hola,

He estado tratando de resolver el siguiente problema y no sé por dónde tirar:

Demuestre que, durante un cambio de fase de primer orden, el cambio de energía interna viene dado por:

$\Delta U =\Delta H (1-\frac{\mathrm{d ln(t)} }{\mathrm{d ln(p)} })$

Donde $\Delta U$ es la variación de energía interna, $\Delta H$ de entalpía y t es la temperatura absoluta y p la presión.

¿Alguna idea?

[Rabinski]

Re: Cambio de fase de primer orden

Hola.
Según el primer principio de la termodinámica, el cambio de energía interna viene determinado por: $\Delta U=W+Q$Con: $W=-\int P\; dV$ y $Q=\int T\; dS (3)$

Como sabrás, en una transición de primer orden, la temperatura y la presión permanecen constantes hasta que se produce el cambio de fase por completo con lo que ambas integrales son directas, quedando $W=-P\Delta V$ y $Q=T\Delta S$

La ecuación de Clausius-Clapeyron es : $\frac{dP}{dT}=\frac{\Delta \bar{H}}{T\Delta v} (1)$
Y la ecuación diferencial de la entalpía usando como variables P y T es: $dH=VdP+TdS$, como en la transición de fase P es constante $\Rightarrow \; dP=0$ y T al ser constante queda entonces: $H=T\Delta S (2)$

Ya tenemos los ingredientes necesarios.
Despejando el cambio volumen molar en (1) y multiplicando por el número de moles queda: $\Delta V=\frac{\Delta H\; dT}{T dP}$, (y usando la sutileza de que $d(ln T)= \frac{dT}{T}$) tenemos finalmente que el cambio de volumen es: $\Delta V=\frac{\Delta H\; d(lnT)}{dP}$
En (2) vemos claramente que el cambio de entalpia es igual al calor cedido o absorbido

Metemos en (3) los resultados obtenidos en (1) y (2) y queda:
$\Delta U= \frac{-P \Delta H\; d(ln T)}{dP}+ \Delta H$
Usando otra vez que $d(ln P)= \frac{dP}{P}$ y sacando factor común de la entalpía ya lo hemos demostrado