1r ciclo Cambio de la entropía de un sistema mediante rueda de paletas.

[Pablogarra]

Buenas, es que me pusieron el otro día un ejercicio en un examen de termodinámica que no termino de completar (aunque la duda es bastante tonta).

El problema es el siguiente:

En un sistema simple monocomponente rodeado por una pared adiabática, rígida e impermeable y cuya energía interna satisface $U=AT^{2}$ se introduce una rueda de paletas y se realiza sobre él un trabajo $L^{pal}$. Cuando el sistema ha alcanzado el equilibrio se le rodea de una pared diatérmana, rígida e impermeable y se pone en contacto térmico con un termostato de temperatura $T_{0}$. Determine

a) El cambio de entropía del sistema en el primer proceso.

b) El cambio de entropía del Universo en el proceso constituido por los dos indicados.

Ayuda: tome para $L^{pal}$ el valor $8AT_{0}^{2}$ que simplifica los cálculos.

(Pongo lo que yo he hecho en el siguiente post para que quede más limpio).
Edito: escribo correctamente en latex.

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Yo creo que tengo correctamente la respuesta a la a):

Para empezar calculo la relación entre la temperatura final y la inicial de la siguiente forma:

$AT_{1}^{2}=AT_{0}^{2}+8AT_{0}^{2}$

y llegamos a la conclusión de que

$T_{1}=3T_{0}$

Por otro lado,

$\delta Q=dU=2AT_{0}dT$

y entonces quedaría

$\Delta S=\intop_{T_{0}}^{T_{1}}2AdT=2A\intop_{T_{0}}^{3T_{0}}dT=4AT_{0}$

Lo cual si no me he equivocado es la solución al primer apartado.

La duda sale en el segundo, pues sé qué el incremento de entropía del universo sería la suma de todos los incrementos de entropía (en este caso el del sistema y el del termostato). Pero dado que en el ciclo completo $\Delta S^{sis}=0$, no sé muy bien resolver esa parte. La de calcular el incremento de entropía del termostato.

Espero que alguien pueda ayudarme al respecto.

¡Un saludo!

[JCB]

Hola a tod@s.

Pablogarra, en el apartado a), coincido contigo hasta $T_1=3T_0$.

Al ser la transformación adiabática ($Q=0$), se cumple:

$\Delta U=W$ (el trabajo absorbido por el sistema se transforma en aumento de la energía interna).

$\Delta U=\dst\int_{0}^{1}dU=8AT_0^2$,

$\dst\int_{T_0}^{T_1}2ATdT=8AT_0^2$,

$T_1=3T_0$.

Por ser la transformación adiabática, también $\Delta S_{01}=0$ (aquí discrepamos).

b) Nuevamente, si aplicamos el primer principio:

$Q=\Delta U$ (el calor cedido por el sistema se transforma en disminución de la energía interna).

$\Delta S_{10}=\dst\int_{1}^{0}\dfrac{\delta Q}{T}=\dst\int_{T_1}^{T_0}\dfrac{dU}{T}=\dst\int_{3T_0}^{T_0}\dfrac{2ATdT}{T}=2A(T_0-3T_0)=-4AT_0$.

Entonces, parece que en este caso b), pierde entropía. Pero no tengo claro a quien la cede: ¿ al calorímetro o al Universo ?.

Saludos cordiales,
JCB.