1r ciclo Coeficiente de dilatación cúbica

[Metaleer]

Hola.

Bueno, igual esto es una chorrada, pero no soy capaz de ver si hay algún argumento físico y no matemático que permita resolver el siguiente problema...


Obtener el coeficiente de dilatación cúbica definido como

$\displaystyle \alpha \equiv \frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P,$

de un gas que cumple la ecuación térmica de estado (gas de esferas blandas)

$\displaystyle pV = nRT \exp\left(\frac{b n}{V}\right),$

con $n$ el número de moles y donde $b$ es una constante. La derivada parcial se puede obtener por derivación implícita en la ecuación de estado, pero lo que me desquicia es que tiene que salir una expresión en función de $p$ y $T$ y he intentado despejar el volumen de la ecuación de estado, pero es que salen funciones no elementales, y no sé si es que hay alguna forma... ¿igual hay que aproximar la exponencial por su serie de Taylor y luego manejar eso para tener menos problemas?

Saludos.

[Dj_jara]

Re: Coeficiente de dilatación cúbica

$\displaystyle pV = nRT \exp\left(\frac{b n}{V}\right),$

$$\displaystyle p\left( \frac{\partial V}{\partial T} \right)_P = nR \exp\left(\frac{b n}{V}\right) + nRT \exp\left(\frac{b n}{V}\right) \frac{-b n}{V^2}\left( \frac{\partial V}{\partial T} \right)_P$$

$$\left( \frac{\partial V}{\partial T} \right)_P \left(p + \frac{bn^2 RT}{V^2}\exp\left(\frac{bn}{V}\right) \right) = nR \exp\left(\frac{b n}{V}\right)$$

Ahora usamos que

$$\frac{1}{V}\exp\left(\frac{b n}{V}\right) = \frac{p}{nRT}$$

con lo que queda

$$\left( \frac{\partial V}{\partial T} \right)_P \left(p + \frac{bn p}{V}\ \right) = nR \exp\left(\frac{b n}{V}\right) = \frac{p V}{T}$$

$$\frac{1}{V}\left( \frac{\partial V}{\partial T} \right)_P = \frac{V}{T(V+bn)}$$

Bueno ya esta, V es función de P y T así que no hay problema xD (bueno como eso supongo que es lo que tienes continuesmos ), si quieres dejarlo de forma más profesional se puede usar la función omega de lambert $y = \omega (y) \exp \left (\omega (y)\right)$

ahora tienes en cuenta que

$$\frac{pb}{RT} = \frac{nb}{V}\exp\left(\frac{b n}{V}\right)$$

suponiendo que b > 0 (pra que la omega de lambert sea real y univaluada) obtenemos

$$\omega \left( \frac{pb}{RT} \right) = \frac{nb}{V}$$

con lo que ya solo queda sustituir en la ecucación.


P.D. Para aproximar por taylor primero seria mejor comprobar que n no es muy grande (bueno exactamente que b n es pequeño) lo que a priori no sabes.

[Metaleer]

Re: Coeficiente de dilatación cúbica

Gracias, Dj_Jara. Ya sabía que salía la función de Lambert, por eso dije que había comprobado que al despejar el volumen, salían funciones no elementales. Pensaba que había alguna manera de arreglarlo para que salieran funciones elementales, pero ya veo que no hay manera. Me sorprende que esté en la colección, eso de la función de Lambert suele ser un misterio.