Concentración relativa en función de la altura

[Dj_jara]

Estaba leyendo un libro (Física biológica - Philip Nelson) y sale un ejercicio que en principio parece fácil pero no lo veo

En la atmósfera terrestre hay aproximadamente unas cuatro moléculas de nitrógeno por cada una de oxígeno, al nivel del mar; más precisamente, la razón es 78:21. Suponiendo que la temperatura fuera constante a todas las alturas (algo no muy realista), ¿cuánto valdría esta razón a 10 km de altura? Explique por qué el resultado es cualitativamente razonable. [Indicación: Este problema se refiere a la densidad numérica de moléculas de exígeno en función de la altura. La densidad esta realiconada de una manera simple con la probabilidad de que una molécula dada de oxígeno pueda ser hallada auna altura particular. Ya sabe cómo calcular estas probabilidades.

No estoy muy de acuerdo con la última frase

Gracias

[[Beto]]

Re: Concentración relativa en función de la altura

Hola, lo primero que se me ocurre es tener en cuenta que:

$P_{(h)}=\rho\frac{RT}{\overline M}$

Esto lo puedes deducir facilmente de la ecuacion de estado (es decir considerando a los gases como ideales).

Además de esto tendrias que tener en cuenta que:

$P_{(h)}=P_0\exp{\left[-\frac{\rho_0.g}{P_0}h\right]}$

Es decir tendrías que:

$P_0\exp{\left[-\frac{\rho_0.g}{P_0}h\right]}=\rho\frac{RT}{\overline M}$

Cons esto ya tendrías una relación entre la densidad de los gases a una altura "h" y la presión "P" que existe en ese lugar, espero que te sirva de algo.

Pd: Eso fue lo primero que se me ocurrió pues desconosco como calcular la probabilidad que mencionas.

[nicco]

Re: Concentración relativa en función de la altura

Yo te dejo una idea en forma de mecánica estadística ...

Este problema se puede resolver dentro del colectivo canónico, ya que te dicen que consideres que la temperatura permanece constante. Usar la aproximación de gas ideal también parece razonable, al menos para hallar lo que te preguntan. Por tanto, si consideramos la atmosfera como una columna de base $L^2$, la energía potencial (considerando los ejes de coordenadas sobre las tres aristas perpendiculares de la columna) es $U(x,y,z) = mgz$, tomando como origen la superficie de la Tierra. La función de partición para una sola molécula de oxigeno de masa $m$ es
$Z = \frac{1}{l^3}\int^L_{x=0}\int^L_{y = 0}\int^\infty_{z=0}e^{-mgz/kT}dx \ dy \ dz = \frac{L^2}{l^3}\frac{kT}{mg},$
donde $l$ es lo que se denomina "longitud de onda térmica", $l = \left (2\pi\hbar^2/mkT\right )^{1/2}$ y $k$ es la constante de Boltzman.

Una vez conocida la función de partición, es fácil obtener la probabilidad de encontrar la partícula en una "rodaja" de área $L^2$ y espesor $dh$, es decir, de volumen $V = L^2 \ dh$ a una altura $h$ sobre la superficie terrestre. Esta probabilidad es:

$P(z \in [h,h+dh]) = \frac{1}{Z}\int^\infty_{p=-\infty}\int_V e^{-p^2/2mkT}e^{-mgz/k_BT}d^3p \ dx \ dy \ dz= \dots = \frac{mg}{kT}e^{-mgh/kT} dh.$

($p$ se refiere al momento lineal clásico de la particula).

Todo esto era para una sola partícula; si consideramos N partículas, la densidad de partículas es el número de partículas que hay en el volumen de una de estas rodajas infinitesimales que hemos considerado, esto es,

$n(h) = \frac{NP(h) \ dh}{L^2dh} = \frac{N}{kT}\frac{mg}{L^2}e^{-mgh/kT}$

y con eso ya tienes cómo varía la concentración con la altura.

Pd.: He supuesto que conoces estos conceptos de mecánica estadística, lo mismo no y todo esto no te sirve para nada, pero bueno, ahí queda. O si no que alguien se anime a explicar en el diccionario de física estadística lo que es la función de partición y demás .