1r ciclo Duda sobre la ecuación energética de estado.

[elfio]

¡Hola a todos!
¡Feliz navidad y año nuevo!

Resulta que estaba estudiando un poco de termodinámica en estos días festivos previos a los exámenes de febrero, y me he encontrado con una duda.

En mis apuntes tengo que para un gas ideal, tanto la energía interna como la entalpía son función únicamente de la temperatura.

La duda viene de que no se cómo se llega a esa conclusión. He buscado por los foros y por internet, y no encuentro una respuesta ni un desarrollo que me indique cómo se llega a ese resultado.

Si me pudierais ayudar... os lo agradecería un montón jeje

¡¡Un saludo!!

[Becquerel]

Re: Duda sobre la ecuación energética de estado.

Hola,

La energía interna de un gas U puede expresarse como la energía cinética total de todas sus moléculas, es decir, el número de moléculas totales multiplicado por la energía cinética media de todas ellas,

$U = N\left( \overline{{ 1 \over 2}mv^2 } \right ) = {1 \over 2}Nm(\overline{v^2}) \Longrightarrow \; {U \over N} = {1 \over 2}m(\overline{v^2})$

Sabemos que las componentes de la velocidad descompuestos en cada una de las direcciones están relacionados de la siguiente manera con el módulo de la velocidad:


Ahora sacamos el promedio de éstas (lo simbolizaremos con el palito arriba),

$\overline{v_x^2} + \overline{v_y^2} + \overline{v_z^2} = \overline{v^2}$

Consideramos que todas las direcciones de la velocidad son igual de probables.

${v_x}^2 = {v_y}^2 = {v_z}^2 \Longrightarrow \; 3\overline{{v_x}^2} = \overline{v^2} \Longrightarrow \; \overline{{v_x}^2} = {1 \over 3}\overline{v^2}$

Ahora pasamos a considerar el cambio de momento total en el gas (el número de colisiones en un tiempo dt. Entonces obtenemos que el cambio de momento total es:

$(dp)_{total} = {mN\overline{v_x^2} \over V}dt$

Entonces podemos poner:

$(dp)_{total} = P = {mN\overline{v_x^2} \over V}dt \Longrightarrow \; PV = mN\overline{v_x^2}$

Sustituimos la velocidad que hemos hallado anteriormente en esta última ecuación y obtenemos:

$PV = {1 \over 3}Nm\overline{v^ 2}$

Y sustituimos ahora en la primera ecuación,

${U \over N} = {1 \over 2}m(\overline{v^2}) \Longrightarrow 2U = Nm(\overline{v^2})$

De nuevo reemplazamos la 5 ecuación en la 4 y sacamos,

$PV = {2 \over 3}U$

Y ahora aplicamos la conocida ecuación de los gases ideales:

$PV = nRT \Longrightarrow \; \frac{2}{3}U = nRT$

Dividimos por el número de moléculas para obtener el número de Avogadro:

$\frac{2U}{3N} = \frac{nRT}{N} = \frac{RT}{(N/n)} = \frac{RT}{(N_A)} = \frac{R}{(N_A)}T$

Y ahora lo relacionamos con la constante de Boltzmann

$k = R/N_A$

Despejamos la R y la sustituimos en la ecuación anterior para obtener:

$PV = nRT = nkN_AT = nk \left( \frac{N}{n} \right )T = NkT \Longrightarrow \; PV = NkT$

Para acabar sustituimos la 6ª ecuación en la 7ª para lograr:

$\frac{2}{3}U = NkT \Longrightarrow \; U = \frac{3}{2}NkT$

Como podemos observar la energía interna depende de la Temperatura

[lucass]

Re: Duda sobre la ecuación energética de estado.

¡Hola a todos!
¡Feliz navidad y año nuevo!

Resulta que estaba estudiando un poco de termodinámica en estos días festivos previos a los exámenes de febrero, y me he encontrado con una duda.

En mis apuntes tengo que para un gas ideal, tanto la energía interna como la entalpía son función únicamente de la temperatura.

La duda viene de que no se cómo se llega a esa conclusión. He buscado por los foros y por internet, y no encuentro una respuesta ni un desarrollo que me indique cómo se llega a ese resultado.

Si me pudierais ayudar... os lo agradecería un montón jeje

¡¡Un saludo!!

Buenas.
Si no mal recuerdo, esto viene de un experimento que hizo Joule. Buscalo en el google, sino cuando tenga más tiempo te cuento mejor. Pero justamente el experimento concluía que la energía interna del gas no dependía de la temperatura, o casi casi (había problemas experimentales), entonces... se postuló que, para un gas ideal, la energía interna es sólo función de la temperatura.
Con lo cual lo que estás buscando no sé si tiene una demostración..., más allá de lo experimental. A mí me enseñaron que esa condición era justamente una de las cosas que "definen" a un gas ideal.
Saludos

[Becquerel]

Re: Duda sobre la ecuación energética de estado.

Efectivamente ésto es sólo para los gases ideales, es lo que me enseñaron en clase hace poco más de un mes. La demostración que he puesto es de clase

[elfio]

Re: Duda sobre la ecuación energética de estado.

Muchas gracias a los dos. He tenido problemas con el ordenador y no he podido entrar antes

Era justo lo que buscaba. No tengo demostración en mis apuntes... y quería saber de donde salía esa conclusión y si resulta que es una de las características de los gases nobles, pues ya está todo solucionado

Un saludo de nuevo y que os traigan muchas cosas los Reyes