2o ciclo Conduccion en una barra con flujo variable

[grindcore999]

holaaa, queria ver si m podrian ayudar con este problema de conduccion en una barra cilindrica.
Sea una barra cilindrica de 100 cm de largo,su seccion transversal es de 5 cm^2 y su conductividad termica es 209.3 W/m°K.. En un extremo de dicha barra tenemos un reservorio con hielo a 0 °C (o sea q la temperatura de ese reservorio siempre sera 0 °C) y en el otro extremo tenemos un trozo de cobre a temperatura de 300 °C, su calor especifico es de 390 J/Kg.°K, y su masa es de 500 g... Segun lo explicado anteriormente sabemos q el calor fluye a traves de la barra desde el trozo de cobre hasta el reservorio de hielo, esto signfica q la temperatura del cobre empezara a disminuir y el hielo empezara a fundirse pero seguira a 0 °C, entonces el flujo de calor varia..
--las preguntas de problema son:
-) ¿cuanto tiempo transcurrira hasta q la temperatura del cobre llegue a 33 °C ?
-) ¿Cuanta masa de hielo se fundira?

Lo q yo trate de usar para resolver esto es la ecuacion de flujo: q=A.S.dt.dT/dX , donde q=flujo de calor, A=conductividad, S=seccion transversal, dt=lapso de tiempo , dT=diferencial de temperatura , dX=diferencial de posicion.. Ahora el problema esta en q el flujo de calor no es constante, entonces se m hace dificil encontrar la solucion de esa ecuacion...

Alguien m podria demostrar como se hace para resolver esta ecuacion diferencial ya q no se como hacerlo, y tambien m podrian dar una mano con las preguntas del problema x q intente y no sale ... desd ya muchas gracias ...

[alefriz]

Re: Conduccion en una barra con flujo variable

holaaa, queria ver si m podrian ayudar con este problema de conduccion en una barra cilindrica.
Sea una barra cilindrica de 100 cm de largo,su seccion transversal es de 5 cm^2 y su conductividad termica es 209.3 W/m°K.. En un extremo de dicha barra tenemos un reservorio con hielo a 0 °C (o sea q la temperatura de ese reservorio siempre sera 0 °C) y en el otro extremo tenemos un trozo de cobre a temperatura de 300 °C, su calor especifico es de 390 J/Kg.°K, y su masa es de 500 g... Segun lo explicado anteriormente sabemos q el calor fluye a traves de la barra desde el trozo de cobre hasta el reservorio de hielo, esto signfica q la temperatura del cobre empezara a disminuir y el hielo empezara a fundirse pero seguira a 0 °C, entonces el flujo de calor varia..
--las preguntas de problema son:
-) ¿cuanto tiempo transcurrira hasta q la temperatura del cobre llegue a 33 °C ?
-) ¿Cuanta masa de hielo se fundira?

Lo q yo trate de usar para resolver esto es la ecuacion de flujo: q=A.S.dt.dT/dX , donde q=flujo de calor, A=conductividad, S=seccion transversal, dt=lapso de tiempo , dT=diferencial de temperatura , dX=diferencial de posicion.. Ahora el problema esta en q el flujo de calor no es constante, entonces se m hace dificil encontrar la solucion de esa ecuacion...

Alguien m podria demostrar como se hace para resolver esta ecuacion diferencial ya q no se como hacerlo, y tambien m podrian dar una mano con las preguntas del problema x q intente y no sale ... desd ya muchas gracias ...

Tienes que tener en cuenta que el calor se transmite del foco caliente (cobre) al foco frío (hielo), por lo que habrá flujo de calor ($q$) siempre que la temperatura en el extremo, $T_i$, sea mayor que la temperatura en la base, $T_{h}$.

El calor cedido por el cobre desde su temperatura inicial $T_i$(300 ºC) hasta la final $T_f$(33 ºC) será:

$$Q = m C_e (T_i - T_f)$$

Este calor fluye hasta el hielo, hasta que el cobre alcanca la temperatura final de 33 ºC, por lo que el flujo neto que llega al hielo será:

$$q = A \frac{T_i-T_f}{L/k}$$

Entre (1) y (2), sabiendo que $Q/t = q$, calculamos el tiempo (a mi me da 31 minutos aproximadamente).

Para el segundo apartado, el calor cedido (ecuación 1) se empleará en fundir parte del hielo, por lo que basta conocer la entalpia de fusión del hielo para obtener la masa de hielo que se funde,$Q = m_h \cdot h_{sl}$

[grindcore999]

Re: Conduccion en una barra con flujo variable

ola alefriz, gracias x tu respuesta pero m parec q no es como lo planteaste, la primera vez q lo hice lo plantee asi pero esta mal pues el flujo no es cte y ahi vos estas suponiendo q si lo es... todavia estoy tratando d solucionarlo... gracias iguall

[alefriz]

Re: Conduccion en una barra con flujo variable

Correcto, el flujo no es constante ya que depende de la temperatura de la masa de cobre, inicialmente en 300 ºC, y ésta a su vez va disminuyendo, de forma lineal.

Por lo tanto, el calor total cedido por la masa de cobre (de pasar de 300º C a 33 ºC) es el que tiene que fluir hacia el hielo por conducción. El flujo va disminuyendo linealmente a medida que disminuye la temperatura de la masa del cobre, por lo que el flujo neto total será el que cede a 300 ºC menos el que cedería a 33 ºC, que es lo que expuse en mi anterior mensaje.

Si quieres puedes representar la variaciónes del calor cedido y flujo frente a la temperatura (gráficas lineales) y calcular el área bajo la curva (área de un triángulo) para obtener el calor y flujo netos respectivamente, obteniendo el mismo resultado que en el planteamiento dado.

Para el primer apartado, el tiempo me da aproximadamente 31 minutos.
Para el segundo apartado, una masa de hielo derretida de 0,156 kg.
¿Tienes la solución numérica del problema?

[grindcore999]

Re: Conduccion en una barra con flujo variable

hola alefriz.. mira, yo lo hice exactamente de la forma q vos lo hiciste anteriormente y pense q lo habia hecho mal, gracias x las respuestas!!!! Las soluciones numericaas no las tengoo!!! gracias nuevamentee!!!