Ecuación de Schrödinger unidimensional. Comentarios

[Saplaya]

Hola a todos. He abierto una discusión para la demostración de la Ecuación de Schrödinger unidimensional independiente del tiempo. He pensado en una segunda etapa, cuando quede cerrado el hilo, abrir otra para la tridimensional, basada en lo ya demostrado en la unidimensional y posteriormente abrir una tercera discusión para la dependiente del tiempo; seria interesante conocer vuestra opinión sobre esta forma de proceder, así como si alguno tiene interés en abrir él alguno de estos hilos.
Respecto al hilo ya abierto, he incluido una lista de puntos a demostrar, así es que cuando queráis podemos empezar a elegir puntos de la lista y a añadir otros que se nos ocurran.
También podéis hacer todos los comentarios y criticas (incluidas las ortográficas y de redacción) que queráis, a fin de mejorar o modificar la demostración.
Las ecuaciones las he numerado como 1.1, 1.2, etc. con la idea de que las ecuaciones que aparezcan en las otras demostraciones de este hilo no se repitan los números.
Otra cosa, “arreldepi” comentó de incluir otras demostraciones, lo digo por si alguien tiene interés en hacer la demostración de otra forma. Lo único sería decidir como hacerlo para no mezclar demasiado las cosas.
En fin, espero que resulte interesante para el grupo, ya vais comentando lo que veáis.

Saludos

[ser humano]

Excelente demostracion!!!.Me parece que esta muy bien explicado. Si puedo mañana hago alguna de las subdemostraciones.

He pensado en una segunda etapa, cuando quede cerrado el hilo, abrir otra para la tridimensional, basada en lo ya demostrado en la unidimensional y posteriormente abrir una tercera discusión para la dependiente del tiempo

en la tridimensional y en la dependiente del tiempo ¿hay alguna otra subdemostracion a realizar diferente a las que se realizaran como subdemostraciones de la unidimensional?

un saludo

[Laron]

Buena demostracón

La ecuación de la longitud de onda de de Broglie también se puede escribir como:

$\lambda = \frac{h}{mv} = \frac{h}{p}$

Siendo:
$h$ = la constante de Planck
$p$ = el momento de la particula

o no es la misma que tu utilizaste?

[Saplaya]

en la tridimensional y en la dependiente del tiempo ¿hay alguna otra subdemostracion a realizar diferente a las que se realizaran como subdemostraciones de la unidimensional?

La verdad es que no mucho, en todo caso alguna demostración matemática básica

La ecuación de la longitud de onda de de Broglie también se puede escribir como:

$\lambda=\frac{h}{mv}=\frac{h}{p}$

o no es la misma que tu utilizaste?

Si, es la misma, $\hbar$ es

$$\hbar=\frac{h}{2\pi}$$

Que al sustituir en (1.2), da la expresión que tú has puesto. He utilizado $\hbar$ por que la ecuación de Schrödinger se suele expresar con $\hbar$.

[ser humano]

Estuve intentando hacer la demostracion de la ecuacion general de ondas, pero por mucho que lo intente aun no lo pude resolver -lamentablemente en la facultad la ecuacion de onda que implementaba era solo trigonometrica y jamas la habia visto expreada de esa forma- .

Por otro lado me gustaria saber si la demostracion de la ecuacion de Broglie se podia hacer a partir de intentar notar que foton tendria la misma energia que tiene el cuerpo en forma de masa, es decir a partir de $\nu h=m$.

Tamopoco me gustaria escribir cualquier cosa, por eso les consulto

[Saplaya]

Estuve intentando hacer la demostracion de la ecuacion general de ondas, pero por mucho que lo intente aun no lo pude resolver -lamentablemente en la facultad la ecuacion de onda que implementaba era solo trigonometrica y jamas la habia visto expreada de esa forma-

Puedes considerar una función periódica de la forma $f(u)$ con $u=x-vt$ que es una función periódica que avanza con velocidad $v$, derivando y aplicando la regla de la cadena tienes que llegar a la función de onda general.

Por otro lado me gustaria saber si la demostracion de la ecuacion de Broglie se podia hacer a partir de intentar notar que foton tendria la misma energia que tiene el cuerpo en forma de masa, es decir a partir de ${\nu}h=m$.

La ecuación de de Broglie para una partícula es un postulado, habría que demostrarla para el fotón y luego postular su validez.

[ser humano]

La ecuación de de Broglie para una partícula es un postulado, habría que demostrarla para el fotón y luego postular su validez.

$E=mc^2 \Longrightarrow \frac E {c^2}=m$
para el foton la ecuacion de broglie:

$\lambda = \frac h {\frac {E}{c^2} c} \Longrightarrow \lambda =\frac {hc}E$
como $\lambda = \frac v \nu$ y v en este caso es c

$\frac c \nu = \frac {hc} E \Longrightarrow E=h\nu$ que es la energia del foton

¿seria de esa forma (pero explicado)?

[Saplaya]

[FONT=Times New Roman]Si , el camino sería ese, pero de lo que se trataría es de partiendo de las expresiones de la energía del fotón (la relativista y la cuántica) obtener la ecuación de de Broglie que relaciona $\lambda$, $p$ y $h$ (o mejor $\hbar$ que es la utilizada en la demostración)[/FONT]

[ser humano]

uh, bueno, voy a ver si leo al respecto y entiendo, intento hacer la demostracion

[ser humano]

Es la unica forma en que se me ocurrio demostrar que la onda era estacionaria. Creo que es valida, al menos no le encuentro ningun error, ustedes me diran.

[Saplaya]

Primero que nada quiero avisar que he hecho una pequeña modificación de terminología en la demostración y consecuentemente en la relación de subdemostraciones y disculparme por las molestias que esto pueda causar a quienes estén trabajando en subdemostraciones relacionadas. Donde puse “se considera como onda asociada una onda estacionaria que se desplace con velocidad $v$” lo he sustituido por “se considera como onda asociada una onda de periodo constante que se desplace con velocidad $v$ constante”. Esto lo he hecho así debido a que, aunque hay algún autor que define la onda seleccionada de la primera forma, entiendo que realmente quiere referirse a una onda con movimiento estacionario, es decir, con velocidad de propagación constante, que es el caso de la onda en cuestión. Hago este cambio porque por onda estacionaria suele entenderse aquella que no se desplaza y por tanto sus nodos permanecen siempre en la misma posición.
Dicho esto, paso a hacer algunos comentarios sobre la primera subdemostración
La subdemostración tal y como está correspondería a la parte que demuestra que la función es periódica y de periodo constante con algunos matices que ahora comento. Faltaría por tanto la parte en que se demuestra que la velocidad de propagación es $v$, si quieres lo puedes añadir en el mensaje y si andas liado con otras me lo comentas y lo pongo en la lista como dos subdemostraciones distintas.
Respecto a la demostración, poner $\theta + 2\pi n = \theta$ no es muy correcto ya que $\theta$ no puede ser diferente de si mismo. Lo que si es correcto es $f(\theta )=f(\theta + 2\pi n)$, pero esto es precisamente lo que habría que demostrar. Este se puede hacer factorizando la función en [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y demostrando que el segundo factor es igual a 1.
Respecto al párrafo final únicamente comentar que lo que repite la posición no es exactamente la partícula, sino el valor de su función de onda asociada, en concreto, para el caso que nos ocupa, al estar perfectamente definido el momento lineal de la partícula, su posición deberá estar totalmente indefinida (por el principio de indeterminación).

Siento no haber sido capaz de hacerlo más corto. Saludos

[ser humano]

entenderse aquella que no se desplaza y por tanto sus nodos permanecen siempre en la misma posición

Crei que era esto, y daba por sentado que el periodo era constante . El $\theta = 2\pi n \theta$ lo puse considerando justamente que la onda tenia un periodo constante, y en ese caso $\theta$ era el desplazamiento angular asociado al movimiento ascilatorio que esta asociado a la onda, y claramente cada $2\pi n$ se encontraba en la misma posicion.

Ahora voy a intentar resolver eso, cualquier duda la expongo aqui mismo

[ser humano]

Ya edite, creo que ahora si esta demostrada al menos el hecho del periodo constante.
En un rato me fijo si puedo hacer lo de la velocidad

[Saplaya]

[FONT=Times New Roman]Perfecto. [/FONT]
[FONT=Times New Roman]Unos comentarios al respecto, en el encabezamiento creo que sería oportuno quitar lo de estacionario y en la expresión de $\Psi_2$ me parece que te han bailado las llaves y los paréntesis y te ha quedado rara.[/FONT]
[FONT=Times New Roman]Otra cosa, donde dices “como $T=2\pi/\omega$” creo que sería más adecuado “tomando $T=2\pi/\omega$” ya que realmente lo que haces lo largo de la demostración es demostrar que el periodo tiene es valor y por tanto no se conoce de antemano.[/FONT]

[ser humano]

Toda la razon, ya lo cambie. gracias