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Vamos a presentar una demostración del teorema Noether (se prouncia Nuuter más o menos).
El teromema de Noether nos proporciona el método para construrir corrientes conservadas. Estas corrientes derivan de los difeomorfismos en el espacio de fases de un sistema dinámico que dejan invariantes la Lagrangiana.
Para empezar definamos una familia uniparamétrica de simetrías:
Definición:
Una familia uniparamétrica de simetrías de un Lagrangiano, (TQ es el espacio (fibrado) tangente a la variedad de configuración), es una aplicación diferenciable:
( donde y es un espacio de caminos en la variedad de configuración del sistema. Es decir, es una función del parámetro s que parametrizará una determinada curva en .), de forma que existe una función tal que:
para alguna .
Expresado de otra forma, se ha de cumplir para todos los caminos :
Si la Lagrangiana queda invariante frente a la transformación tendremos .
Teorema de Noether:
Sea una familia uniparamétrica de simetrías del sistema lagrangiano dado por L. Entonces,
es una cantidad conservada. Su derivada temporal es nula para cualquier camino compatible con las ecuaciones de Euler-Lagrange.
Demostración:
QED
Lo interesante sería derivar este teorema con el formalismo de la mecánica simpléctica. Para ello habría que definir:
1.- Forma simpléctica.
2.- Producto interior entre formas.
3.- Establecer el teorema de Darboux.
Además ahora se puede demostrar la conservación de la energía y de los momentos (lineales o angulares) a través de transformaciones de simetría sobre el sistema dinámico.
El teromema de Noether nos proporciona el método para construrir corrientes conservadas. Estas corrientes derivan de los difeomorfismos en el espacio de fases de un sistema dinámico que dejan invariantes la Lagrangiana.
Para empezar definamos una familia uniparamétrica de simetrías:
Definición:
Una familia uniparamétrica de simetrías de un Lagrangiano, (TQ es el espacio (fibrado) tangente a la variedad de configuración), es una aplicación diferenciable:
( donde y es un espacio de caminos en la variedad de configuración del sistema. Es decir, es una función del parámetro s que parametrizará una determinada curva en .), de forma que existe una función tal que:
para alguna .
Expresado de otra forma, se ha de cumplir para todos los caminos :
Si la Lagrangiana queda invariante frente a la transformación tendremos .
Teorema de Noether:
Sea una familia uniparamétrica de simetrías del sistema lagrangiano dado por L. Entonces,
es una cantidad conservada. Su derivada temporal es nula para cualquier camino compatible con las ecuaciones de Euler-Lagrange.
Demostración:
QED
Lo interesante sería derivar este teorema con el formalismo de la mecánica simpléctica. Para ello habría que definir:
1.- Forma simpléctica.
2.- Producto interior entre formas.
3.- Establecer el teorema de Darboux.
Además ahora se puede demostrar la conservación de la energía y de los momentos (lineales o angulares) a través de transformaciones de simetría sobre el sistema dinámico.
