Demostración de la equivalencia masa-energía

[Ulises7]

A continuación expondré la demostración de la energía cinética relativista.

En la dinámica relativista ahora al momento lineal introducimos el factor de Lorentz ( $\gamma$ ) para que cumpla con las transformaciones de Lorentz.

$$\displaystyle p = \gamma mv = \dfrac{mv}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}$$

Donde $p$ es el momento lineal, $m$ la masa de una partícula, $v$ la velocidad de una partícula y $c$ la velocidad de la luz en el vacío, aproximadamente $3 \cdot 10^8 \; ms^{-1}$.

Por tanto la diferencia fundamental entre la dinámica clásica y la relativista es que en la segunda introducimos el factor de Lorentz-Fitzgerald con las consecuencias que ello comporta. Hay que destacar el detalle que si la velocidad de una partícula es mucho menor que la de la luz, la mecánica clásica es una muy buena aproximación.


Una vez realizado el comentario ya se puede seguir, es muy mecánica la demostración, comienzo según el teorema de las fuerzas vivas y procedo desarrollando. Es la siguiente:

$$\displaystyle W = \Delta E_c = \int_{0}^{s} F \cdot \dd s = \int_{0}^{s} \dfrac{\dd p}{\dd t} \cdot \dd s = \int_{0}^{p} v \dd \left ( \dfrac{mv}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}} \right )$$

Ésta integral se resuelve por partes, sólo tenemos que recordar la siguiente regla:

$$\int u \dd z = uz - \int z \dd u$$

Ahora tenemos en cuenta que: $u = v$ , $\dd u = \dd v$ , $z = \dfrac{mv}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}$, $\dd z = \dd \left ( \dfrac{mv}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}} \right )$. Por tanto:

$$\displaystyle W = \dfrac{mv^2}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}} - \int_{0}^{v} \dfrac{mv}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}\dd v = mv^2 - m\int_{0}^{v} \dfrac{v}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}\dd v$$

Ahora realizamos los siguientes cambios por comodidad para resolver la integral: $w = \dfrac{v}{c}$ , $v = wc$ , $\dd v = c\dd w$ . Entonces:

$$\displaystyle W = mv^2 - mc^2 \int_{0}^{w} \dfrac{w}{\sqrt{1 - w^2}} \dd w = mv^2 + mc^2 \left [ \sqrt{1 - w^2} \right ]_{0}^{w}$$

$$W= mv^2 + mc^2 \left [ \sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}} \right ]_{0}^{v} = mv^2 + mc^2 \left ( \sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}} - 1 \right )$$

$$\displaystyle W = mv^2 + mc^2\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}} - mc^2$$

$$W = \dfrac{mv^2}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}} + mc^2\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}} - mc^2 = \dfrac{mv^2 + mc^2 \left (1 - \dfrac{v^2}{c^2} \right )}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}} - mc^2$$

$$W =\dfrac{mc^2}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}} - mc^2 = \gamma mc^2 - mc^2 = ( \gamma - 1 )mc^2$$

Al final tenemos que el trabajo es:

$$W = ( \gamma - 1 )mc^2$$

Que según el teormea de las fuerzas vivias es igual al incremento de energía cinética de un cuerpo:

$$\boxed{ \Delta E_c = ( \gamma - 1 )mc^2}$$

Subdemostración:


Expresión de la energía que poseen todas las partículas con masa y que están en reposo.

Para ello particularicemos el caso donde efectuamos un trabajo $W$ en mover una partícula con masa $m$ y donde inicialmente está parada. Tenemos que:

$$W = \Delta E_c = E_c - E_{c0} = ( \gamma - 1 )mc^2$$

Pero como inicialmente su velocidad inicial es nula no tiene energía cinética inicial, asi que:

$$E_c = \gamma mc^2 - mc^2$$

Pero el término $\gamma mc^2$ es la energía total de la partícula ( $E$ ), entonces:

$$E_c = E - mc^2$$

$$E = E_c + mc^2$$

Por tanto si la velocidad de la partícula es 0, su energía cinética seria sero y la energía de cualquier partícula con masa $m$ es:

$$\boxed{ E_0 = mc^2}$$

Llegando por fin a la famosa expresión.


-Demostraciones que se utilizan en el hilo:

Demostración del teorema de las fuerzas vivas.

-Demostraciones relacionadas a realizar:


Demostración de la expresión de la energía total ( E ).

Demostración del cambio de variable.


Saludos


Ulises

[ser humano]

Buen trabajo ! Felicitaciones!

No seria al reves? que la primera demostracion es subdemostracion de la segunda?

Olvidaste poner en la demostracion del blog el enlace al listado de demostraciones.

Un saludo

[Ulises7]

Gracias,

respecto a lo de que está al revés sinceramente yo no lo veo , ¿no es más fácil a partir del teorema de las fuerzas vivas llegar a la expresión de la energía cinética y a partir de alli ( como subdemostración ) llegar a la energía en reposo que el proceso inverso?

Ya pongo el enlace

[ser humano]

Es que hasta ahora veniamos llamando "subdemostracion" a la demostracion de una de las afirmaciones que implementabamos para hacer otra demostracion. La ecuacion de la energia en reposo no se utilizo para obtener la expresion de la teoria cinetica, sino que al contrario (y entonces esta ultima seria subdemostracion de la primera).
Lo sugeria para que no haya confusiones.

[Ulises7]

Ahhh ya entiendo, el conflicto es pura cuestión semántica , bueno la cuestión está en que hacer una demostración para la energía en reposo seria muy corta, entonces no sé... A lo mejor cambiando el nombre de subdemostración a sencillamente demostración de la energía en reposo solventa el problema ¿no?

[ser humano]

Claro

[Ulises7]

A continuación demostraré la expresión (3), de la demostración de la energía cinética relativística, que es el cambio de variable:

$$\int u \dd z = uz - \int z \dd u$$

Para llegar a ésta expresión partimos de la derivada del producto de dos funciones:

$$D \left ( f(x) \cdot g(x) \right ) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$$

Despejamos el término $f(x) \cdot g'(x)$ y tenemos:

$$f(x) \cdot g'(x) = D \left ( f(x) \cdot g(x) \right ) - f'(x) \cdot g(x)$$

Si integramos tenemos:

$$\int f(x) \cdot g'(x) = \int D \left ( f(x) \cdot g(x) \right ) - \int f'(x) \cdot g(x)$$

$$\int f(x) \cdot g'(x) = f(x) \cdot g(x) - \int f'(x) \cdot g(x)$$

Y si hacemos que: $f(x) = u$ y $g(x) = z$, tenemos que:

$$\int u \dd z = uz - \int z \dd u$$

Llegando por fin a la expresión buscada, demostrando el cambio de variable.


Demostraciones posibles:

-Demostración de la derivada del producto.

Espero comentarios


saludos

Ulises

[ser humano]

Espero comentarios

Menos mal... .

Probablemente no me este dando cuenta de algo, pero ¿por que la derivada de f o de g son diferenciales?

Saludos Ulises

[Ulises7]

No acabo de entender lo que quieres decir, te refieres al último paso ¿verdad?, ¿cómo lo hago?


saludos human

[ser humano]

Si, del (5) al (6), en donde las funciones derivadas son sustituidas (segun lo que puedo notar) por los diferenciales.

[Ulises7]

Uy, tenía ésto olvidado xd, disculpa.

A ver, pues lo que hago es que una funcion f(x) la expreso como u y entonces si la derivada de f(x) es f'(x) para u será du, no veo el problema

[ser humano]

No seria $\frac {du}{dx}$?

[Ulises7]

Sinceramente no te sé responder, conozco las dos notaciones pero mis conocimientos del cálculo diferencial son poco sólidos para responderte con seguridad