Problema de Basilea

[Stormkalt]

Este problema, que es llamado así en nombre a la ciudad natal de Euler (1707–1783) y la familia Bernoulli, consiste en encontrar la suma de:

$$\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{n^2 }}} = ?$$

La resolución de este problema en la actualidad se puede encontrar de diversas maneras, aunque aquí la demostraré como lo hiciera Euler.
Aparece por primera vez en Novae quadraturae arithmeticae, un libro escrito en 1650 por Pietro Mengoli (1625–1686), que fue alumno de Cavalieri (1598–1647) y profesor de la Universidad de Bolonia.
A partir de aquel año 1650 muchos matemáticos intentaron resolver el problema de Basilea, aunque ninguno lo conseguirá hasta Euler. El primero en intentarlo fue John Wallis (1616–1703) en su libro Arithmetica infinitorum de 1655, donde aproxima la serie al valor 1,645, cometiendo un error inferior a una milésima.
Leibniz (1646–1716) conoció el problema en 1673, cuando Henry Oldenburg (1619–1677) se lo propusiera por carta, y pese a haber sumado otras series similares, no logró sumar la del problema en cuestión. Lógicamente, los Bernoulli también conocían el problema de Basilea, siendo Jacob Bernoulli (1654–1705 (la ecuación de Bernoulli de la dinámica de los fluidos se la debemos, entre otras muchas, a él)) el que más éxito tuvo en la resolución de la serie, pues aunque no consigue sumarla, demuestra dos hechos de suma importancia.
El primero es que la serie es convergente, pues la acota por

$$<br /> \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}<br /> {{n^2 }}} = < 2\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}<br /> {{n^2 + n}}} = 2\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\frac{1}<br /> {n} - \frac{1}<br /> {{n + 1}}} \right)} = 2<br />$$

Además, como todas las series

$$\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}<br /> {{n^k }}} \,con\,k \geqslant 2$$

cumplen

$$\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}<br /> {{n^k }}} \leqslant \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}<br /> {{n^2 }}} < 2$$

Todas estas series convergen. La convergencia, que en la actualidad es lo primero que buscamos en una serie, en la antigüedad no era tenida muy en cuenta.
El segundo hecho que demuestra Bernoulli es que para una serie del tipo más general, la suma de sus términos impares es

$$\frac{{2^k - 1}}<br /> {{2^k }}\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}<br /> {{n^k }}}$$

Después de estos trabajos no hay ningún paso hacia el cálculo de (1), salvo nuevas y mejores aproximaciones de la suma. Obtener aproximaciones no es tan fácil como podría parecer, por ser esta serie de convergencia muy lenta. Si sumamos cien términos conseguimos la aproximación 1.63498390018489, correcta en la primera cifra únicamente. Goldbach (1690–1764) en 1729 acota la solución entre 1.664 y 1.665, y Stirling (1692–1770) en 1730 también da una aproximación en su libro Methodus Differentialis, 1.644934066, correcta hasta la novena cifra decimal.
Finalmente, es en 1730 o principios de 1731 cuando hace su aparición Euler, con su artículo De summatione innumerabilium progressionum, publicado en 1738, donde utiliza un método nuevo para aproximar esta serie y, poco tiempo después, la demostración que sigue:
Partimos de

$$sen(x) = x - \frac{{x^3 }}<br /> {{3!}} + \frac{{x^5 }}<br /> {{5!}} - \frac{{x^7 }}<br /> {{7!}} + \frac{{x^9 }}<br /> {{9!}}...$$

$$sen(x) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{( - 1)^n x^{2n} }}<br /> {{(2n)!}}}$$

Dividimos ambos miembros por x

$$\frac{1}<br /> {x}sen(x) = \frac{1}<br /> {x}\left[ {x - \frac{{x^3 }}<br /> {{3!}} + \frac{{x^5 }}<br /> {{5!}} - \frac{{x^7 }}<br /> {{7!}} + \frac{{x^9 }}<br /> {{9!}}...} \right]<br />$$

Hacemos distributiva

$$\frac{{sen(x)}}<br /> {x} = 1 - \frac{{x^2 }}<br /> {{3!}} + \frac{{x^4 }}<br /> {{5!}} - \frac{{x^6 }}<br /> {{7!}} + \frac{{x^8 }}<br /> {{9!}}...<br />$$

Y notamos que las raíces de este polinomio serán

$$\pm k\pi$$

$$k \in \left\{ {1,2,3...} \right\}$$

Por otra parte, sabemos que si factorizamos cualquier polinomio, las raíces se pueden expresar como

$$p(x) = a(x_1 - x)(x_2 - x)(x_3 - x)...$$

$$p(x) = ax_1 x_2 x_3 x_4 ...\left( {1 - \frac{x}<br /> {{x_1 }}} \right)\left( {1 - \frac{x}<br /> {{x_2 }}} \right)\left( {1 - \frac{x}<br /> {{x_3 }}} \right)\left( {1 - \frac{x}<br /> {{x_4 }}} \right)... \hfill \\$$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Aplicando esto a nuestro problema

$$\frac{{sen(x)}}<br /> {x} = \left( {1 - \frac{x}<br /> {\pi }} \right)\left( {1 + \frac{x}<br /> {\pi }} \right)\left( {1 - \frac{x}<br /> {{2\pi }}} \right)\left( {1 + \frac{x}<br /> {{2\pi }}} \right)\left( {1 - \frac{x}<br /> {{3\pi }}} \right)\left( {1 + \frac{x}<br /> {{3\pi }}} \right)...<br />$$

Resolvemos las diferencias de cuadrados

$$\frac{{sen(x)}}<br /> {x} = \left( {1 - \frac{{x^2 }}<br /> {{\pi ^2 }}} \right)\left( {1 - \frac{{x^2 }}<br /> {{4\pi ^2 }}} \right)\left( {1 - \frac{{x^2 }}<br /> {{9\pi ^2 }}} \right)...<br />$$

Y hacemos distributiva. Solamente interesan los valores que acompañan a la x^2

$$\frac{{sen(x)}}<br /> {x} = 1 - x^2 \left( {\frac{1}<br /> {{\pi ^2 }} + \frac{1}<br /> {{4\pi ^2 }} + \frac{1}<br /> {{9\pi ^2 }}...} \right)...<br />$$

Y como sabemos que

$$\frac{{sen(x)}}<br /> {x} = 1 - \frac{{x^2 }}<br /> {{3!}} + \frac{{x^4 }}<br /> {{5!}} - \frac{{x^6 }}<br /> {{7!}} + \frac{{x^8 }}<br /> {{9!}}...<br />$$

$$\frac{1}<br /> {{3!}} = \frac{1}<br /> {{\pi ^2 }} + \frac{1}<br /> {{4\pi ^2 }} + \frac{1}<br /> {{9\pi ^2 }}...<br />$$

$$<br /> \frac{1}<br /> {6}\pi ^2 = 1 + \frac{1}<br /> {4} + \frac{1}<br /> {9}...<br />$$

$$\frac{1}<br /> {6}\pi ^2 = 1 + \frac{1}<br /> {{2^2 }} + \frac{1}<br /> {{3^2 }}...$$

$$\frac{1}<br /> {6}\pi ^2 = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}<br /> {{n^2 }}}$$

Y queda resuelto el problema.

[juantv]

Ultimamente le damos a euler =P .

algunas veces esa suma se representa por medio de integrales como funcion de dos variables:

$$\dst[FONT=monospace] [/FONT]\int_0^1\int_0^1 {1 \over\ 1-xy}\,dy\,dx = \frac{\pi ^2}{6}$$

sobre la desigualdad de las sumatorias cabe comentar que una de las demostraciones que eran de ''domino publico'' en cambridge a finales de los 60 si no me equivoco, utilizaba la funcion zeta de riemann:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
en el cual finalmete el logro fue mostrar que
ζ(2) = π2/6 = 1.644934

que funcion mas , mas , mas... .

[Stormkalt]

Hola juantv:

Si quisiéramos dedicarnos a Euler tendríamos para escribir entre 60 y 80 volúmenes , según se dice que ese es más o menos todo el material que escribió.

Justamente estuve leyendo en estos días sobre lo que comentas, al respecto de la solución de las integrales de dos variables y la función zeta de Riemann.

¡Saludos y gracias por leer y comentar!

[Saplaya]

Estupenda demostración Stormkalt (que ingenio el del amigo Euler) y no menos interesante introducción. Tengo una pregunta y un detalle (por si quieres cambiarlo)

¿por que entre (14) y (15) descartas $c$? Es que lo miro pero no lo veo.

(el detalle es que creo que en (11) $k$ empieza en 1)

[Stormkalt]

Hola Saplaya:
Gracias por leer y comentar. Yo también me sorprendo cada vez que estudio las demostraciones de Euler.
Con respecto a c (el término independiente del polinomio), en este caso vale 1, por eso no aparece en el producto. Fijate que en (9), el polinomio tiene por término independiente al valor 1.
Y efectivamente, k no puede ser cero. Gracias por encontrar ese error. Ya lo cambio.
¡Saludos!

[Saplaya]

Vale ya lo veo, gracias.

Saludos