Ecuacion parametrica del Toro

[ser humano]

Siendo que el toro es la superfice de revolucion de una circunferencia (de radio $r$) cuyo centro describe, en un plano perpendicular al plano en el que esta dicha circunferencia, otra circunferencia (de radio $R$), se puede tomar como parametros los siguientes angulos:

$\alpha$, medido en el plano de la circunferencia de radio $R$ (donde el cero de coordenadas es el centro de dicha circunferencia).

$\beta$, medida en el plano de la circunferencia de radio $r$ (donde el cero de coordenadas es el centro de dicha ciercunferencia).

Con $0\leq \alpha, \beta \leq 2\pi$

Es notorio que el plano en que se mide $\beta$ depende del valor de $\alpha$ .




En el grafico se puede notar que las coordenadas en el eje $z$ son las mismas que las que tiene la circunferencia de radio $r$ en el eje de las ordenadas en su plano, y por ello las expresiones de ambas coordenadas son las mismas.
Siendo que para dicha circunferencia se cumple (por definicion de seno de un angulo):

$z=o= r \sin \beta$

Siendo $o$ el valor en las ordenadas del plano en el que esta la circunferencia tratada.

Por otro lado, intersecamos al toro con planos perpendiculares al plano de la circunferencia de radio $R$, podemos notar que en los planos tangentes a él la interseccion es una circunferencia de radio $R$, y en los planos intermedios son dos circunferencias concentricas, donde la circunferencia interior tiene un radio de $R-a$ y la exterior una radio de $R+a$, siendo $a$ y $-a$ los valores de las abscisas en la circunferencia de radio $r$ para un determinado valor de $z$, el cual es la distancia entre el plano $x$-$y$ y el plano en donde estan las circunferencias tratadas. Este valor es $a= r \cos \beta$ (por definicion de coseno de un angulo)

Dicho esto, estamos en condiciones de afirmar que para la circunferencia interior se cumple:
$<br /> x=(R- r\cos \beta) \cos \alpha =(R+ r\cos (\beta + \pi)) \cos \alpha<br />$

$<br /> y=(R- r\cos \beta) \sin \alpha =(R+ r\cos (\beta + \pi)) \sin \alpha<br />$

Y para la exterior:
$<br /> x=(R+ r\cos \beta) \cos \alpha<br />$

$<br /> y=(R+ r\cos \beta) \sin \alpha<br />$

Entonces, tanto para puntos de la circunferencia exterior como para puntos de la interior se cumple:

$x= (R +r \cos \beta) \cos \alpha$


$<br /> y=(R + r\cos \beta) \sin \alpha<br />$

Por lo que queda esta parametrizacion del toro es:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[ser humano]

No creo que alguien se pueda imaginar lo mucho que me costo intentar hacer clara la explicacion. Ni siquiera estoy seguro de haberlo logrado.
Lamento seguir siendo detractor con el tema de $\pm$ , pero en el medio de la demostracion, nuevamente me parecio que el coseno no consideraba ambos valores (el coseno de beta y de su opuesto aditivo serian los mismos, pero $a=r \cos \beta$ y $-a= r \cos (\frac {\pi}2 + \beta) = - cos \beta$) .

¿que programa usan por lo general para hacer graficos?, me gustaria incluir uno semejante a este:

(ahora edito y lo pongo)

pero mejor.

Saludos

[Stormkalt]

Hola ser humano:

Insisto que el [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] se puede obviar.
Fijate que el [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] varía entre [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] \]
De modo tal que de allí ya salen ambos signos para las circunferencias en el plano x, y. La mínima (interior) y la máxima (exterior). Luego todas las demás circunferencias que se van achicando hacia la parte positiva de Z y la negativa de Z. No sé si me logré explicar como pensaba.

Otra cosa que podés hacer es comenzar adarle valores a alfa y beta (sin el [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] ), y ver cómo se construye todo el toro.

¡Saludos!

[ser humano]

Si, ahora puedo notar dicha variacion, y que con ella es suficiente para generar al toro . Pero me falta ver como llego a que es así con la linea de pensamiento que lleva la demostracion.

Lo pienso un rato.

Saludos

[Saplaya]

No creo que alguien se pueda imaginar lo mucho que me costo intentar hacer clara la explicacion. Ni siquiera estoy seguro de haberlo logrado.

Pues está bastante clarita

Respecto a lo del ±, pienso que con que elimines las expresiones que contienen el menos ya lo tendrías, ya que, como comenta Stormkalt, el coseno ya te proporciona el signo.

Saludos

[ser humano]

Pues está bastante clarita

Me alegro , porque la demostracion en sí no es muy dificil, pero fue costoso buscar la forma de explicarlo.


Ya note donde estaba mi error, estaba hallando valores de x para un determinado plano, dado el angulo $\alpha$. Ya lo corregi

[Saplaya]

Uhm.... A mi me parece que si $\beta$ varia entre 0 y $2\pi$, entonces lo de las expresiones con menos y con $\beta+\pi$ sobraría y si varia entre 0 y $\pi$ no sobra pero necesitas el ±. Creo que estaría bien añadir en la demostración el dominio de los ángulos y desarrollarla en base a ellos.

Saludos

[Stormkalt]

Yo tenía una demostración totalmente diferente:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Y se llega a lo mismo. Me parece que en ambos casos los ángulos varían entre 0 y 2pi.

¡Salve!

[ser humano]

Hola

Uhm.... A mi me parece que si varia entre 0 y , entonces lo de las expresiones con menos y con sobraría y si varia entre 0 y no sobra pero necesitas el ±

Esto es justamente lo que me permite pasar de las ecuaciones de la circunferencia intererior y exterior a la expresion general. Pero antes de hacerlo analizo lo que sucede en cada circunferencia para un $\beta$ fijo.

Creo que estaría bien añadir en la demostración el dominio de los ángulos y desarrollarla en base a ellos.

Ahora lo añado a la demostracion

Yo tenía una demostración totalmente diferente...

Si, y me parece que esa es un poco mas breve. Se Podria añadir una explicacion a lo hecho y subimos ambas demostraciones si te parece.

Saludos

¡Salve!

Cada vez te alejas mas de "saludos"

[Stormkalt]

Si, y me parece que esa es un poco mas breve. Se Podria añadir una explicacion a lo hecho y subimos ambas demostraciones si te parece.

Sí, me parece bien. Le agrego la explicación y la vuelvo a postear.

Cada vez te alejas mas de "saludos"

Jajajjajaja

¡Salute!

[Stormkalt]

Bueno, aquí le agregué la explicación:
Explicación de la parametrización alternativa del torus

Partimos del gráfico y vemos que el vector canónico [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] parametriza una circunferencia en el plano x, y. Mientras que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] es el vector unitario en z.

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
La función

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Parametriza una circunferencia de radio r centrada en el origen.

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Luego, si sumamos esta función a [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] obtenemos un desplazamiento de esta parametrización y una rotación con eje en Z.

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Obteniéndose la paramétrica de la superficie toroidal

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[ser humano]

Yo noto todo OK . Cuando dispongan subo el anterior .

Saludos