Demostración de la pulsación, período y frecuencia del péndulo.

[Ulises7]

A continuación demostraré la pulsación ( $\omega$ ), el período ( $T$ ) y la frecuencia ( $\nu$ ) del péndulo, para ello debemos saber que el movimiento del péndulo es un MAS ( movimiento armónico simple ), entonces sabemos que la aceleración ( $a$ ) en un MAS está dada por:

$$a = -\omega^2 x$$

Donde $\omega$ es la pulsación y $x$ la elongación. Está presente un signo menos para indicar que la aceleración posee en todo momento sentido opuesto a la elongación.

Para llevar a cabo la demostración realizamos el diagrama de fuerzas:



Vemos que la componente vertical del peso ( el vector $mg\cos \theta$ ) se anula con la tensión de la cuerda y que la responsable del movimiento del péndulo es la componente horizontal del peso ( $mg \sin \theta$ ), por tanto la aceleración del péndulo está dada por ( aplicamos la 2ª Ley de Newton ):

$$a = \dfrac{-mg \sin \theta }{m} = -g\sin \theta$$

El signo menos lo ponemos para indicar que la aceleración tiene sentido opuesto a la elongación.

Ahora realizamos la aproximación que para angulos pequeños el seno de un ángulo es aproximadamente la tangente del ángulo ( $\sin \theta \approx \tan \theta$ ) y la tangente en éste caso está dada por:

$$\tan \theta = \dfrac{x}{L}$$

Si sustituimos (3) en (2):

$$a = -g\dfrac{x}{L}$$

Y si ahora sustituimos (4) en (1):

$$-\omega^2 x = -g\dfrac{x}{L}$$

Es decir:

$$\boxed{\omega = \sqrt{\dfrac{g}{L}}}$$

Que es la pulsación del péndulo.

Ahora bien, sabemos que la pulsación en un MAS está dada por:

$$\omega = \dfrac{2\pi}{T}$$

Por tanto el período del péndulo será:

$$\boxed{T = 2\pi \sqrt{\dfrac{L}{g}}}$$

Y la frecuencia ( recordando que la frecuencia es la inversa del período: $\nu = \dfrac{1}{T}$ ):

$$\boxed{\nu = \dfrac{1}{2\pi} \sqrt{\dfrac{g}{L}}}$$

Llegando por fin a las expresiones buscadas, cabe recordar que éstas expresiones son válidas únicamente para ángulos pequeños.

Demostraciones posibles:

-Demostración de la aceleración en un MAS.



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Saludos

Ulises

[Laron]

Buena demostració, ya quedó aclarada lo de $\sin \theta \approx \tan \theta$

NaClu2 _/

[angel relativamente]

Hice trampa (leí tu artículo )
Aunque es cierto que antes estuve cavilando un poco...
Pero no me llego a quedar convencido con lo de: $sin\;\theta\approx tan\;\theta$
Porque con un ángulo de 50º ya empieza a haber diferencias notables.
Saludos, y muy buena demostración!

[arreldepi]

Angel, eso es sólo para ángulos pequeños (y en radianes) si quieres, coge un programa que haga gráficas y dibuja en un mismo fondo, $f(x)=\sin x;\; g(x) = \tan x$ i $h(x) = x$ y verás cómo, cerca del cero, las tres funciones parece que coinciden. Cuando hagas límites entenderás un poco el por qué, lo que sucede es que estas tres funciones son infinitésimos equivalentes (creo que se llama así), es decir, que si hacemos el cociente de dos de ellas tomando el límite tendiendo a cero nos da 1 (es decir, que lo del numerador tiende al mismo valor que el denominador).

Saludos!

[angel relativamente]

entiendo, pero entonces, ¿esta fórmula se puede aplicar siempre?
Es decir, cuando me pidan el periodo de un péndulo, tan solo me importa L y g, nada más. ¿no?

[arreldepi]

Siempre y cuando su movimiento sea armónico simple.

[Stormkalt]

Linda demostración Ulises.
Saludos.

[javier m]

¿ porque tan=x/L,si como yo lo veo L es la hipotenusa ?

[Ulises7]

Estás viendo un triángulo que no toca , fíjate en la cuerda, en la línea vertical imaginaria y en el vector horizontal del peso a ver si así lo ves mejor.

[javier m]

hmm, ya veo