Demostración ecuación de Lagrange a partir de la ecuación de Newton y ejemplos

[alexpglez]

En este hilo trataremos de hallar la ecuación de Lagrange partiendo de la ecuación de Newton, analizando además algunas ventajas e inconvenientes de esta nueva formulación. Los requisitos básicos son conocer el cálculo multivariable.
La ecuación de Newton del movimiento es:

$$\vec F=\frac{d \vec p}{dt}$$

Con $\vec p= m \vec v=m \frac{d \vec r}{dt}$
Pero, sabemos, que esta ecuación presenta ciertos inconvenientes, uno de ellos es que se trabaja con un sistema de coordenadas cartesianas, si se quiere trabajar en cilíndricas o esféricas, hay que derivar "manualmente" para llegar a la expresión. Otro, derivado de éste, es que si tenemos un sistema de n partículas, necesitaríamos 3n coordenadas cartesianas, cuando, por las reestricciones del sistema, es probable que muchas coordenadas queden redundantes. En cuanto a las fuerzas que actúan sobre el sistema, puede haber fuerzas que aparezcan por el hecho de ciertas reestricciones de coordenadas, a las que llamaremos de ligadura (y designaremos por $f$), un ejemplo claro puede ser el plano inclinado, por el hecho de tener que moverse por él, hay una fuerza normal al plano.
Para solucionar estos problemas, vamos previamente a definir lo que son las coordenadas generalizadas y el desplazamiento virtual:
Imaginemos que tenemos una partícula en un sistema reestringido, por ejemplo un péndulo, como ya dijimos puede y en este caso es algo absurdo trabajar con las coordenadas cartesianas, cuando sólo necesitamos un ángulo para poder definir el sistema. Esta sería la coordenada generalizada que estaríamos buscando para este caso. Podemos definir las coordenadas generalizadas, como las coordenadas que definen el sistema de partículas que estamos analizando, que además si se quiere, al ser completamente arbitrarias, pueden elegirse independientes las unas de las otras. Es decir, $\vec r (q_1,_2,q_3,..., q_k, t)$
Ahora vayamos con el desplazamiento virtual, éste se define como un desplazamiento infinitesimal, modificándose infinitesimalmente la configuración del sistema, y no en el tiempo.
La velocidad de una partícula, expresada según sus coordenadas generalizadas es:

$$\vec v= \frac{d \vec r}{dt}= \sum_k \frac{\partial \vec r}{\partial q_k}\dot q_k +\frac{\partial \vec r}{\partial t}$$

Donde, para simplificar, $\dot q_k=\frac{d q_k}{dt}$. Ahora podemos hallar el diferencial fácilmente, y definiendo que el desplazamiento virtual no es en el tiempo, podemos definirlo cómo:

$$\delta \vec r= \sum_j \frac{\partial \vec r}{\partial q_j}\delta q_j$$

Sólo nos falta decir, que siempre se puede encontrar un sistema de coordenadas en el que el trabajo virtual de las fuerzas de rozamiento sea nula, en un plano inclinado por ejemplo, se ve fácilmente que la normal es perpendicular al desplazamiento virtual. Por lo que:

$$\vec f \cdot \delta \vec r=0$$

Una vez definidos los conceptos previos, podemos pasar pues a la demostración.
Calculamos los trabajos virtuales de todas las i-ésimas partículas.

$$\sum_i \vec F_i \cdot \delta \vec r_i+\vec f \cdot \delta \vec r_i= \sum_i \dot \vec p_i \cdot \delta \vec r_i$$

El primer miembro:

$$\sum_i \vec F_i \cdot \delta \vec r_i +\vec f_i \cdot \delta \vec r_i=\sum_i \vec F_i \cdot \delta \vec r_i=\sum_{i, j} \vec F_i \cdot \frac{\partial \vec r_i}{\partial q_j}\delta q_j=\sum_ j Q_j \delta q_j$$

Dónde llamamos fuerza generalizada:

$$Q_j=\sum_{i} \vec F_i \cdot \frac{\partial \vec r_i}{\partial q_j}$$

Ahora el segundo miembro:

$$\sum_i \dot \vec p_i \cdot \delta \vec r_i= \sum_i \dot \vec p_i \cdot \frac{\partial \vec r_i}{\partial q_j}\delta q_j=\sum_{i,j} \dot \vec p_i \cdot \frac{\partial \vec r_i}{\partial q_j}\delta q_j=\sum_{i, j} [\frac{d}{dt}(\vec p_i \cdot \frac{\partial \vec r_i}{\partial q_j})-\vec p_i \cdot \frac{d}{dt}(\frac{\partial \vec r_i}{\partial q_j})]\delta q_j$$

Pero vemos por la expresión que:

$$\frac{\partial \vec v_i}{\partial \dot q_j}=\frac{\partial \vec r_i}{\partial q_j}$$

Y además cómo $\frac{\partial \vec r}{\partial q_j}$ sigue siendo función de las coordenadas generalizadas y el tiempo, análogo al caso anterior.

$$\frac{d}{dt}(\frac{\partial \vec r}{\partial q_j})=\sum_k \frac{\partial^2 \vec r}{\partial q_k \partial q_j}\dot q_k +\frac{\partial^2 \vec r}{\partial t \partial q_j}=\frac{\partial \vec v_i}{\partial q_j}$$

Sustituyendo ésto en la ecuación anterior:

$$\sum_{i, j} [\frac{d}{dt}(\vec p_i \cdot \frac{\partial \vec v_i}{\partial \dot q_j})-\vec p_i \cdot \frac{\partial \vec v_i}{\partial q_j}]\delta q_j$$

Nos damos cuenta de que podemos juntar los términos, suponiendo que la masa es constante, e identificando la energía cinética $T=\sum_i\frac{1}{2} m \vec v_i^2$:

$$\sum_j [\frac{d}{dt}(\frac{\partial \sum_i\frac{1}{2} m \vec v_i^2}{\partial \dot q_j})-\frac{\partial \sum_i\frac{1}{2} m \vec v_i^2}{\partial q_j}]\delta q_j=\sum_j [\frac{d}{dt}(\frac{\partial T}{\partial \dot q_j})-\frac{\partial T}{\partial q_j}]\delta q_j$$

Con lo que finalmente la ecuación de Newton se escribirá:

$$\sum_ j Q_j \delta q_j= \sum_j [\frac{d}{dt}(\frac{\partial T}{\partial \dot q_j})-\frac{\partial T}{\partial q_j}]\delta q_j$$

Si nuestras coordenadas generalizadas son independientes, esta ecuación se cumplirá, sólo si:

$$\frac{d}{dt}(\frac{\partial T}{\partial \dot q_j})-\frac{\partial T}{\partial q_j}=Q_j$$

Nuestro siguiente paso, es descomponer Q_j, en fuerzas generalizadas que vengan de un potencial y las disipativas. Para las fuerzas que provengan de un potencial

$$Q_j'=\sum_{i} \vec F_i \cdot \frac{\partial \vec r_i}{\partial q_j}=-\sum_{i} \vec \nabla V \cdot \frac{\partial \vec r_i}{\partial q_j}=-\sum_k \frac{\partial V}{\partial r_k}\frac{\partial r_k}{\partial q_j}=-\frac{\partial V}{\partial q_j}$$

Designando con $r_k$ cada coordenada de cada partícula.

$$\frac{d}{dt}(\frac{\partial T}{\partial \dot q_j})-\frac{\partial T}{\partial q_j}=Q_j-\frac{\partial V}{\partial q_j}$$

$$\frac{d}{dt}(\frac{\partial T-V}{\partial \dot q_j})-\frac{\partial T-V}{\partial q_j}=Q_j$$

Hemos incluido, V en el primer término, ya que V no depende de la velocidad por definición, y hemos llamado $Q_j$ a las fuerzas no provenientes de un potencial. Ahora podemos definir la función de Lagrange, o lagrangiana:

$$L=T-V$$

Y obtenemos las ecuaciones Euler-Lagrange:

$$\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot q_j})-\frac{\partial L}{\partial q_j}=Q_j$$

Que en el caso particular de que todas las fuerzas puedan venir dadas como potenciales:

$$\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot q_j})-\frac{\partial L}{\partial q_j}=0$$

Vamos a resolver algunos ejemplos:
Partícula bajo la gravedad terraplanar. En este caso, nos conviene usar las coordenadas cartesianas, estás nos generan ecuaciones, para los ejes x y z.

$$L=T-V=\frac{1}{2}m(\dot x^2+\dot y^2 + \dot z^2)-mgz$$

$$\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot x })-\frac{\partial L}{\partial x}=0$$

$$\frac{d}{dt}(m \dot x)=0$$

$$\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot y })-\frac{\partial L}{\partial y}=0$$

$$\frac{d}{dt}(m \dot y)=0$$

$$\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot z })-\frac{\partial L}{\partial z}=0$$

$$\frac{d}{dt}(m \dot z)+mg=0$$

Tal y cómo hemos obtenido las ecuaciones, podemos llamar por similitud al momento generalizado $p_j=\frac{\partial L}{\partial \dot q_j}$, que aunque en el caso cartesiano, vemos que es igual, pero no tiene por qué (ni tener las mismas unidades que el momento). Mediante esta definición, es facil ver que el teorema de conservación del momento generalizado, se reduce a observar si el lagrangiano contiene la coordenada generalizada, en nuestro ejemplo, x e y no aparecían pero z sí.

Partícula en coordenadas polares 2D, considerando que actúan fuerzas tangenciales y centrales ($F_r$ y $F_{\theta}$, $\vec F=F_r \hat r + F_{\theta} \hat \theta$).
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$$\vec v=\dot r \hat r + r \dot \theta \hat \theta$$

$$\vec v^2=\dot r^2+ r^2 \dot \theta ^2$$

Dónde $\hat r =(\cos \theta, \sin \theta)$ y $\hat \theta =\frac{\partial \hat r}{\partial \theta}=(- \sin \theta, \cos \theta)$.

$$L=T-V=\frac{1}{2}m(\dot r^2+ r^2 \dot \theta ^2)$$

$$Q_r=\vec F \cdot \frac{\partial \vec r}{\partial r}=F_r$$

$$Q_{\theta}=\vec F \cdot \frac{\partial \vec r}{\partial \theta}=rF_{\theta}$$

$$\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot r })-\frac{\partial L}{\partial r}=Q_r$$

$$\frac{d}{dt}(m \dot r)-mr \dot \theta ^2=F_r$$

$$\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot \theta })-\frac{\partial L}{\partial \theta}=Q_{\theta}$$

$$\frac{d}{dt}(m r^2 \dot \theta)=rF_{\theta}$$

Y para terminar un comentario sobre el potencial. El potencial lo definíamos por la expresión, $Q_j=-\frac{\partial V}{\partial q_j}$, pero por las ecuaciones Euler-Lagrange, vemos que el potencial podría ser toda función tal que:

$$Q_j=-\frac{\partial V}{\partial q_j}+\frac{d}{dt}(\frac{\partial V}{\partial \dot q_j})$$

Por ejemplo uno de ellos que aparece así es el potencial asociado a la fuerza electromagnética, que como curiosidad es:

$$V=q\phi - q \vec A \cdot \vec v$$

Un saludo