[angel relativamente]

Hola Javier. Pues no, no es un axioma, es un teorema. La demostración sigue más o menos el siguiente esquema: Coges un intervalo cerrado que tenga intersección no nula con tu conjunto. El valor máximo de ese intervalo es una cota superior del conjunto. Ahora divides ese intervalo en dos de la misma longitud, y te quedas con el de más a la derecha posible siempre que tenga intersección no nula con tu conjunto. Así sucesivamente construyes una sucesión de intervalos encajados de longitud 1/2^k veces la longitud del primero, y donde siempre el valor máximo será cota superior. A continuación has de considerar una sucesión a_n donde el término i-ésimo esté en el intervalo i-ésimo, y luego demostrar que esta sucesión es de Cauchy. Como es de Cauchy en R y R es completo por sucesiones (axioma), entonces es convergente. Solo queda ver que el valor al que converge es cota superior y además es la menor de las cotas, y con eso ya has visto que el conjunto tiene supremo.

También me han hecho demostrar cosas como que x·y=0 sii x=0 ó y=0, que si x<0, y<0 entonces x·y>0 y que todo número real tiene raíz enésima. Aunque no lo creas, son teoremas que se deducen de los axiomas