1r ciclo Uno de muelles

[neometalero]

Un muelle ligero e 0.6m de largo, está apoyado verticalmente en el suelo y tiene una constante elástica de 10N/m. Una esfera de 50g cae verticalmente sobre él, y cuando pasa por el punto a 1m del suelo, lleva velocidad de 2m/s. Despreciando rozamientos, halla el acortamiento máximo posible del muelle.
Por conservación de la energía:

$$mgh+\frac{mv^2}{2}=\frac{kx^2}{2}$$

de donde se tiene que

$$x=\sqrt{\frac{m}{k}(2gh+v^2)}$$

Estoy en lo cierto? De ser así, la altura h es 0.6m? Cuánto valdría la velocidad? Porque no se desde qué altura cae y necesito saber la velocidad en el momento del impacto y el resultado no me da bien.

[[Beto]]

Re: Uno de muelles

Estoy en lo cierto? De ser así, la altura h es 0.6m? Cuánto valdría la velocidad? Porque no se desde qué altura cae y necesito saber la velocidad en el momento del impacto y el resultado no me da bien.

Si eliges como nivel de referencia el punto donde la bola se detiene para volver a subir, la altura desde la que se soltó respecto de ese punto es $h=d-\ell_o+x$, donde $d$ es la altura respecto al suelo por donde pasa con una velocidad de $2m/s$, $\ell_o$ la longitud natural del resorte y $x$ la deformación máxima producto del impacto, reemplaza esa expresión en la $h$ de la ecuación que estás planteando y despeja $x$.

[neometalero]

Re: Uno de muelles

Haciendo eso me sale una ecuación de segundo grado con soluciones x=25,8cm y x=-16cm, el resultado que me dicen que debe dar es de 29.7cm.

[Jupa]

Re: Uno de muelles

Hola !
Por letra sabes que esta el resorte apoyado verticalmente sobre el suelo y aunque no lo diga debe estar en su posicion de equilibrio (ni comprimido ni estirado) entonces te dice ademas que cuando esta a 1m de altura del piso tiene una velocidad $v_{1}=2 m/s$ entonces en ese momento va a tener energia cinética y potencial gravitacional las cuales se conocen ambas 2 tomando como $y=0$ a nivel del suelo. Lo que estoy viendo es como sacar la altura antes de que la esfera haga contacto con este porque si por letra te dice que el largo del resorte es $l=0.6 m$ entonces la altura $y$ antes de que haga contacto es $y= 0.6 m$ enotonces ahi podemos calcular la energia potencial gravitacional que va a tener el cuerpo a esa altura y luego recordando que desde la altura 1m hasta 0.6m la unica fuerza que realiza trabajo es la gravitacional de tal modo que la energia mecanica se conserva entonces de ahi sacas la velocidad en el punto ese antes de que tenga contacto con el resorte...despues de ahi en ese momento tomas el trayecto desde antes de que tenga contacto con el resorte que ya conoces la energia mecanica en ese punto y como cuando se comprime totalmente va a tener potencial gravitaciional + potencial elastica y el acortamiento maximo que queres hallar es la altura medida desde el suelo de la energia potencial gravitacional cuando el resorte esta comprimido al maximo que es igual a la compresion maxima...entonces como planteando la energia mecanica final tenes...$E_{f}=\frac{kh^2}{2} + m_{esf}gh = E_{i}$ y donde$m_{esf}$ es la masa de la esfera con $E_{i}$ la energia mecanica antes de comprimir el resorte que es conocida...entonces resolviendo la ecuacion podrias hallar el valor de h de la compresion minima del resorte...estemmm espero no haber metido la pata y haberte mareado...te soy sincero esta solución loca se me ocurrio a medida que iba viendo como hacerlo y no me convencio mucho jaja por las dudas no te fies de mi respuesta...si te sirve bienvenido sea! Saludos!

[[Beto]]

Re: Uno de muelles

Haciendo eso me sale una ecuación de segundo grado con soluciones x=25,8cm y x=-16cm, el resultado que me dicen que debe dar es de 29.7cm.

a mi me da $x=0,21 m$

[Xel]

Re: Uno de muelles

¿habeis probado a hallar la velocidad con la que llega a la altura de 0,6 m?, porque la velocidad que se da es a la altura de 1 m antes de contactar con el muelle.

$a = g = \frac{v_2^2 - v_1^2}{2(y_2 - y_1)}$

$v_2 = \sqrt{2g0,4 + v_1^2} = \sqrt{2g0,4 + 2^2} = 3,4421 \frac{m}{s}$ (g=9,81 m/s^2)

[neometalero]

Re: Uno de muelles

Si claro, pero no me convence esa solución. Con mi planteamiento, dicha velocidad debe ser de 2.42m/s para que la solución cuadre, pero el tiempo empleado no me sale. Según el planteamiento que me ha dicho Beto, la velocidad me sale otra y el resultado ya lo he dicho. A ver si alguien más lo hace y desenreda esto jeje.

[Xel]

Re: Uno de muelles

no se, ahora estoy un poco liado, mira a ver si esto te sirve.

[[Beto]]

Re: Uno de muelles

Hola !
Por letra sabes que esta el resorte apoyado verticalmente sobre el suelo y aunque no lo diga debe estar en su posicion de equilibrio (ni comprimido ni estirado) entonces te dice ademas que cuando esta a 1m de altura del piso tiene una velocidad $v_{1}=2 m/s$ entonces en ese momento va a tener energia cinética y potencial gravitacional las cuales se conocen ambas 2 tomando como $y=0$ a nivel del suelo. Lo que estoy viendo es como sacar la altura antes de que la esfera haga contacto con este porque si por letra te dice que el largo del resorte es $l=0.6 m$ entonces la altura $y$ antes de que haga contacto es $y= 0.6 m$ enotonces ahi podemos calcular la energia potencial gravitacional que va a tener el cuerpo a esa altura y luego recordando que desde la altura 1m hasta 0.6m la unica fuerza que realiza trabajo es la gravitacional de tal modo que la energia mecanica se conserva entonces de ahi sacas la velocidad en el punto ese antes de que tenga contacto con el resorte...despues de ahi en ese momento tomas el trayecto desde antes de que tenga contacto con el resorte que ya conoces la energia mecanica en ese punto y como cuando se comprime totalmente va a tener potencial gravitaciional + potencial elastica y el acortamiento maximo que queres hallar es la altura medida desde el suelo de la energia potencial gravitacional cuando el resorte esta comprimido al maximo que es igual a la compresion maxima...entonces como planteando la energia mecanica final tenes...$E_{f}=\frac{kh^2}{2} + m_{esf}gh = E_{i}$ y donde$m_{esf}$ es la masa de la esfera con $E_{i}$ la energia mecanica antes de comprimir el resorte que es conocida...entonces resolviendo la ecuacion podrias hallar el valor de h de la compresion minima del resorte...estemmm espero no haber metido la pata y haberte mareado...te soy sincero esta solución loca se me ocurrio a medida que iba viendo como hacerlo y no me convencio mucho jaja por las dudas no te fies de mi respuesta...si te sirve bienvenido sea! Saludos!

Pero es que no es necesario hacerlo por tramos, no hay fuerzas disipativas la energía inicial será la misma en cada instante.

[Jupa]

Re: Uno de muelles

Lo hice y me dio 30 cm que si redondeas ese resultado o sea 29,7cm$\approx$ 30cm. el unico cambio que tenes que hacer en mi respuesta larga es la parte final que queda asi...mejor te dejo los cálculos que hice...a ver:

Datos:
$y_{1}=1m ; y_{2}= 0.6m ; m=50g \approx 0.05 kg ; v_{1}=2.0 m/s$

Como el trabajo es la unica fuerza que realiza trabajo y ésta es conservativa entonces la energía mecánica se va aconservar en todo momento incluso cuando actue la fuerza elastica que también es conservativa. Luego tenemos:

$K_{1}+U_{1} = K_{2}+U_{2} \Rightarrow mv_{1}^2/2+mgy_{1} = mv_{2}^2/2+mgy_{2} \Rightarrow 0.1+0.49 =$

$=(0.05)v_{2}^2/2+0.294 \Rightarrow 11.84= v_{2}^2 \Rightarrow v_{2}= 3.44 m/s$ luego de todo esto planteamos otra vez conservación de la energía mecánica:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$mgh + k(y_{2}^2-2y_{2}h+h^2)/2 \Rightarrow 0.598 = 0.49h +1.8 -6h + 5h^2$ y finalmente tenemos

$1.211-5.51h+5h^2 = 0 \Rightarrow h_{1}=0.798 m$ y $h_{2}=0.30m\approx 30 cm$ entoces $h_{2}=30cm$ es la solución. No se quisas me equivoque pero creo que no. Espero te sirva...saludos!

[Jupa]

Re: Uno de muelles

Si [Beto] podria no haberlo hecho asi pero esta forma fue la primera que me surgio sin pensar mucho que otra cosa habia en la vuelta jaja gracias de todos modos!

[[Beto]]

Re: Uno de muelles

Parece estar bien, yo lo hice de forma similar en un solo tramo, me extraña que no saliera lo mismo (sospecho que me equivoque al calcular algo )

[electr0n]

Re: Uno de muelles

Llega la inspiración a las 2AM :P

Suponemos que la esfera cae desde cierta altura h; si su velocidad es "v" cuando está a una altura 1m, por conservación de energía tendremos:

$\displaystyle mgh=mg\cdot 1+\frac{1}{2}mv^2$

$\displaystyle h=\frac{v^2}{2g}+1$

Energía inicial (total) $\displaystyle E=mgh=\frac{m}{2}(v^2+2g)$

Al comprimir el muelle hasta su máximo acortamiento, esta energía E se ha transformado en:

1) Energía potencial elástica por compresión una cierta longitud$\Delta=l_0-x$ en el muelle: $\displaystyle E_1=\frac{1}{2}k(l_0-x)^2$

2) Energía potencial gravitatoria a una altura x distinta de 0, cuando se ha detenido del todo: $E_2=mgx$

Por conservación de la energía ponemos:

$E=E_1+E_2$

$<br /> \displaystyle \frac{m}{2}(v^2+2g)=\frac{1}{2}k(l_0-x)^2+mgx<br />$

Al resolver la ecuación de 2º grado se obtiene $x=30,3cm$ y $x=80cm$. La solución válida es obviamente la primera, de manera que el acortamiento máximo será

$\Delta=60-30,3=29,7cm$

Saludos

[neometalero]

Re: Uno de muelles

Lo peor de todo es que antes lo he hecho así pero no sé dónde me he equivocado y no me ha dado jejeje, asias!!!

[Jupa]

Re: Uno de muelles

exactamente a las mismas habia llegado yo que le elimine un par d numeros fuera de la coma pero me dio 30.3 y 80 con algo pero olvide la ultima parte asi que estaba bien igual lo que hice. Saludos a todos!