Secundaria ¿Está bien este problema?

[angel relativamente]

Hola. Verán mañana tengo un examen y tengo que llevar un ejercicio resuelto, que tengo que ponerme yo mismo.
He escogido uno que me puso Ulises7 http://forum.lawebdefisica.com/threa...to-un-problema

Pues bien, he expuesto todo ésto porque si no, es imposible entender qué significa la ecuación de Arrhenius:

$$\displaystyle k = A e^{-\frac{E_a}{RT}}$$

Donde $k$, es la constante de velocidad, $E_a$ es la energía de activación, que es la energía mínima que deben tener las moléculas para producir la reacción, $R$ es la constante de los gases ideales, $T$ es la temperatura donde transcurre la reacción y $A$ es un parámetro que corresponde al número de colisiones con la geometría correcta, por lo tanto se le denomina factor de frecuencia o factor preexponencial. El factor adimensional $e^{-\frac{E_a}{RT}}$ es siempre menor que 1 y mide la fracción de moléculas que superan la energía mínima ( $E_a$ ) requerida para la reacción.

Por último decir, que ésta expresión es fruto experimental de la comprobación del aumento de la constante $k$ al aumentar la temperatura.

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[FONT=&quot]Calcula la energía de activación de una reacción para la cual, la constante de velocidad se duplica cuando la temperatura aumenta de 15 a 25 ºC. [/FONT] Dato: $R = 8,314 J K^{-1} mol^{-1}$

[FONT=&quot]

[/FONT]Bueno, creo que es un nivel demasiado alto para mí[FONT=&quot], [/FONT]les mostraré lo que he intentado hacer, me gustaría que me corrijan si he cometido algun error

$$\displaystyle k = A e^{-\frac{E_a}{RT}}$$

Primero que nada paso de Celsius a kelvin.
15º=288k
25º=298k

Una vez hecho esto, sustituyo la temperatura (T) en la ecuación anteriror.

$$\displaystyle k = A e^{-\frac{E_a}{288R}}$$

$$\displaystyle \frac{k}{A}=e^{-\frac{E_a}{288R}}$$

(lo que hay sobre el "e" es $\displaystyle \frac{-E_a}{288R}$)

$$\displaystyle -\frac{E_a}{288R}=ln(\frac{k}{A})$$

$$\displaystyle E_a=-ln(\frac{k}{A})\cdot 288R$$

Despues dice que cuando aumenta la temperatura a 25º (298K), se duplica la constante de velocidad (k). Por tanto:

$$\displaystyle 2k=Ae^{\frac{-E_a}{298R}}$$

(lo que hay sobre el "e" es $\displaystyle \frac{-E_a}{298R}$)

$$\displaystyle ln(2\frac{k}{A})=\frac{-E_a}{298R}$$

$$\displaystyle E_a=-ln(2\frac{k}{A})\cdot 298R$$

Si igualamos las fórmulas (6) y (9), nos queda:

$$\displaystyle -ln(\frac{k}{A})\cdot 288R=-ln(2\frac{k}{A})\cdot 298R$$

$$\displaystyle -ln(\frac{k}{A})\cdot \left({\frac{288R}{298R}}\right) = -ln(2\frac{k}{A})$$

$$\displaystyle -ln(\frac{k}{A})\cdot \left({\frac{144}{149}}\right)=-ln(2\frac{k}{A})$$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Lo que hay en el exponente de los "e" es:$\displaystyle \frac{144}{149}\cdot ln({\frac{k}{A})}$ y [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , respectivamente.

$$\displaystyle \left({\frac{k}{A}}\right)^{\frac{144}{149}}= 2(\frac{k}{A})$$

en el exponente pone $\displaystyle \frac{144}{149}$

$$\displaystyle \frac{\left({\frac{k}{A}}\right)^{\frac{144}{149}}}{(\frac{k}{A})}=2$$

[FONT=&quot]
[/FONT]

$$\displaystyle \left({\frac{k}{A}}\right)^{x}=2$$

siendo:

$$\displaystyle x= \frac{-5}{149}$$

$$\displaystyle \left({\frac{k}{A}}\right)=\sqrt[x]{2}$$

Volviendo a la ecuación 6:

$$\displaystyle E_a=-ln(\frac{k}{A})\cdot 288R$$

Por tanto:

$$\displaystyle E_a=-ln(\sqrt[x]{2})\cdot 288\cdot 8,314 \approx 49.458'87J$$

Por dios me llevó mucho trabajo hacer esto. Les agradecería muchísimo que me dijesen si está bien o no. Saludos y muchas gracias
Ángel

[Entro]

Re: ¿Está bien este problema?

Pues yo creo que está de cine...

[Ulises7]

Re: ¿Está bien este problema?

Bueno felicidades, porque el resultado es correcto y el procedimiento también .

Aunque te comento un par de errores menores, primero de todo la unidad de la escala de temperatura absoluta ( Escala Kelvin ) se escribe en mayúscula: K y más aún en éste caso que lo podemos confundir con la constante de la velocidad k. Aunque ésto es muy secundario pero no lo es tanto el hecho que el resultado final se exprese en las unidades $J mol^{-1}$, ya que si haces un análisis dimensional observarás que te da ésto. Por lo demás muy bien, aunque lo podías haber hecho mucho más rápido y de una forma más sencilla, también más elegante. Mañana la expondré, ya que ahora mismo no tengo tiempo ( estoy con Nietzsche y Miguel Hernández ). Tiene que ver con un sistema de ecuaciones donde antes las tienes en forma de logaritmos neperianos y después por reducción se despeja la energía de activación.

saludos

[Al2000]

Re: ¿Está bien este problema?

Aparte de la recomendación que te hará Ulises7, que intuyo por donde viene, yo te sugeriría no sustituir las temperaturas al principio y mejor trabajar con letras. El procedimienro es mas claro, mas fácil de buscar errores y reusable.

Saludos,

Al

[angel relativamente]

Re: ¿Está bien este problema?

Bueno felicidades, porque el resultado es correcto y el procedimiento también .

Aunque te comento un par de errores menores, primero de todo la unidad de la escala de temperatura absoluta ( Escala Kelvin ) se escribe en mayúscula: K y más aún en éste caso que lo podemos confundir con la constante de la velocidad k. Aunque ésto es muy secundario pero no lo es tanto el hecho que el resultado final se exprese en las unidades $J mol^{-1}$, ya que si haces un análisis dimensional observarás que te da ésto. Por lo demás muy bien, aunque lo podías haber hecho mucho más rápido y de una forma más sencilla, también más elegante. Mañana la expondré, ya que ahora mismo no tengo tiempo ( estoy con Nietzsche y Miguel Hernández ). Tiene que ver con un sistema de ecuaciones donde antes las tienes en forma de logaritmos neperianos y después por reducción se despeja la energía de activación.

saludos

Muchas gracias por esos detalles. Me gustaría conocer esa forma para hacerlo más elegantemente. Ya lo he entregado pero es algo personal

Aparte de la recomendación que te hará Ulises7, que intuyo por donde viene, yo te sugeriría no sustituir las temperaturas al principio y mejor trabajar con letras. El procedimienro es mas claro, mas fácil de buscar errores y reusable.

Saludos,

Al

Lo tendré en cuenta (:

Saludos

[Ulises7]

Re: ¿Está bien este problema?

Muchas gracias por esos detalles. Me gustaría conocer esa forma para hacerlo más elegantemente. Ya lo he entregado pero es algo personal

Claro, aunque es bueno conocer distintas formas de llegar al resultado, después con la práctica ya verás que hay métodos muchos más rápidos que otros.

A ver, para empezar tenemos lo siguiente:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Pues bien éste sistema si lo desarrollamos tomando logaritmos neperianos y aplicando las propiedades de éstos llegamos a:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Ahora restamos el segundo término al primero:

$$\ln \left ( \dfrac{k_1}{k_2} \right ) = \dfrac{E_a}{R} \left( \dfrac{1}{T_2} - \dfrac{1}{T_1} \right )$$

Y por último despejamos la energía de activación, que es lo que buscamos:

$$E_a = \dfrac{R\ln \left ( \dfrac{k_1}{k_2} \right )}{ \dfrac{1}{T_2} - \dfrac{1}{T_1} }$$

Si sustituimos los valores, te dará el mismo resultado.


saludos