1r ciclo Serie de fourier

[[Beto]]

Hola, necesito ayuda con el siguiente ejercicio:

Hallar la serie de Fourier para la siguiente función:

$$f(x)=e^{r\cos x}\cos(r\sin x)$$

para $T=2\pi$.

He estado intentando hacerla pero se me complican mucho los cálculos ¿alguna sugerencia o pista?

[pod]

Re: Serie de fourier

Lo primero es darse cuenta que es una función par, por lo que si haces la expansión en $[-\pi,\ \pi]$ sólo te saldrán cosenos.

Segundo, te propongo usar lo siguiente:

$$f(x) = \Re\ \eee{ r \cos x + i r \sin x } = \Re\ \eee{r \eee{i x}} .$$

Para hacer la integral a lo mejor te resulta útil el cambio $z = \eee{i x}$, teniendo en cuenta que

$$\cos(n x) = \frac12 \Big( z^n + z^{-n} \Big) .$$

Esas integrales son a lo largo del circulo unidad, así que tiene toda la pinta de que lo puedas hacer fácilmente por residuos.

[[Beto]]

Re: Serie de fourier

Esas integrales son a lo largo del circulo unidad, así que tiene toda la pinta de que lo puedas hacer fácilmente por residuos.

Algo así estaba pensado ... aunque he realizado el cálculo expandiendo la función en serie de Taylor al rededor de $x=0$ y luego calculando la serie de Fourier de la serie obtenida, y llegue a una expresión, de todas formas intentaré por residuos.