1r ciclo Condensador plano con dos dieléctricos

[Zhisi]

Agradecería que alguien me guiara por el buen camino jaja! Lo primero decir que tras intentarlo, he buscado algun ejercicio resuelto por la red y he encontrado este: http://laplace.us.es/wiki/index.php/...e_dieléctrico pero no entiendo una parte que considero crucial para la resolución del problema, así que toda ayuda es bienvenida.

He editado el hilo porque algún resultado porque había hecho alguna sumaresta mal.

a) Al dieléctrico inferior lo llamaré 1 y al superior 2.
Conocido el potencial V:
$V(d)=-(\int E_1 dr + \int E_2 dr)$
La primera integral evaluada en $0\to d/4$ y la segunda de $d/4 \to d$ y como el campo no depende de la distancia (dentro de cada dieléctrico) tenemos que:
$V=E_1 \frac{d}{4 } +E_2 \frac{3}{4}d$

Sabemos que D es cte entre las placas, por tanto $\epsilon E_1 =2\epsilon E_2$. Con esta ecuación y con la anterior tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incognitas con el que obtenemos:
$E_1 =\frac{8}{5d} V$

$E_2=\frac{4}{5d}V$
Y además :
$D=\frac{8}{5d}V\epsilon$

¿Por qué el vector desplazamiento es cte entre las placas? Creo que nos lo dijeron en clase pero no lo recuerdo.

Para hallar la polarización:
$P_1=(\kappa _1 -1)\epsilon _0 E_1$
$P_2=(\kappa _2 -1)\epsilon _0 E_2$

donde $\kappa _i =\frac{\epsilon _i }{\epsilon _0}$

Sin darme cuenta creo que he resuelto el primer apartado jaja!!

b) Conocemos D y la superficie de las placas, por tanto podemos obtener la carga libre que hay en las pacas del condensador y como también tenemos V podemos hallar la capacidad del condensador:

$Q_{libre} =\int D dS = \frac{8}{5d}V\epsilon S \Rightarrow C=\frac{Q}{V} =\frac{\frac{8}{5d}V\epsilon S}{V}=\frac{8}{5d}\epsilon S$

c)Para la densidad de carga bastaría con
$\sigma _i =P_i \hat{n}$
Aquí me surge una duda. En el punto de unión de los dos dieléctricos ¿no sucede nada? quiero decir ¿se comportan igual que si sólo hubiera un dieléctrico?


d) Este apartado en principio lo sé hacer así que no necesito ayuda con el (o eso espero).

No se si estará bien, pero de ser así lo he resuelto mientras lo escriba pensando que no sabía hacerlo. Supongo que el tiempo que tardo en escribir lo que quiero preguntar me permite meditar sobre cómo resolverlo´y no obcecarme.

Gracias.

PD: Invito a mis compañeros de clase a que colaboren en este hilo y no sólo copien el problema para entregarlo el martes.

[Al2000]

Re: Condensador plano con dos dieléctricos

Podrías editar el mensaje y corregir los errores aparentemente de tipeo:

Un galimatías

Sabemos que D es cte entre las placas, por tanto ...

Un campo igual a un potencial

obtenemos:



Y además...

Un desplazamiento con dimensiones de densidad lineal de carga

Y además :

Una carga con dimensiones de $\mathrm{C \cdot m}$ y una capacidad con dimensiones de $\mathrm{F \cdot m}$

Saludos,

Al

[Zhisi]

Re: Condensador plano con dos dieléctricos

Comprendelo, era de noche y estaba oscuro... ya he corregido algunas cosas, "me había dejado" una d a mitad de camino y me faltaba alguna letra en latex.
Y ahora ¿está bien? ¿y las dudas que comento?

Graciaaaaaaaaaaaas!!

[Ras]

Re: Condensador plano con dos dieléctricos

a) Tomé E1 el campo del dieléctrico superior con $2\epsilon$, E2 el inferior con $\epsilon$ y E0 el campo que tendríamos sin dieléctrico.
$\dst \ V(d)=-(\int_0^{d/4} E_1 dr + \int_{d/4}^d E_2 dr)= -E_2 \frac{d}{4}-E_1 \frac{3d}{4}$
$\dst E_1=\frac {E_0}{K_1}; K_1=\frac{2\epsilon}{\epsilon_0} ; \dst E_1=\frac {E_0\epsilon_0}{2\epsilon }$

Igual E2... $\dst E_2=\frac {E_0\epsilon_0}{\epsilon }$
Sustituyendo en la primera ecuación $\dst ...E_0=\frac {-V8\epsilon}{5\epsilon_0d }$
Por lo que $\dst E_1=\frac {-V4}{5d} ; E_2=\frac {-V8}{5d}$

$\dst D_1=2\epsilon E_1 ;D_2=\epsilon E_2$

$\dst P_1=D_1-\epsilon_0 E_1 ;P_1=(2\epsilon-\epsilon_0) E_1$

$\dst P_2=D_2-\epsilon_0 E_2 ;P_1=(\epsilon-\epsilon_0) E_2$

b) Como dos condensadores en serie..

$\dst\frac {1}{C_total}=\frac{3/4d}{2\epsilon *Area}+\frac{1/4d}{\epsilon*Area} =\frac{5d}{8\epsilon*Area}; C_T=\frac{8\epsilon*Area}{5d}$

c) La densidad de carga en los límites del dieléctrico
$\dst \sigma_1=P_1*\hat{n}=(2\epsilon-\epsilon_0) E_1$

$\dst \sigma_2=P_2*\hat{n}=(\epsilon-\epsilon_0) E_2$

d)He calculado la energía del sistema en cada uno de los estados:
1-Con dos dieléctricos.
2-Quitando el superior.
3-completando con el inferior.

1- $\dst U_1=\frac{1}{2}C_T V^2=\frac{1}{2}\frac{8\epsilon*A}{5d} V^2$

2- Calculando la capacidad total sin el dieléctrico superior (este no se si es necesario)
$\dst U_2=\frac{8\epsilon*A\epsilon_0}{3d\epsilon+d\epsilon_0} V^2$

3- Con un solo dieléctrico.
$\dst U_3=\frac{\epsilon*A}{3d} V^2$

Ahora entiendo que habría que calcular la variación total de energía que ha habido.

$\dst \Delta U=U_1-U_2$

$\dst \Delta U=\frac{3\epsilon*A}{10d}V^2$


Pd: yo, como tú, soy un mar de dudas

[Al2000]

Re: Condensador plano con dos dieléctricos

El trabajo es el negativo de la variación de energía del condensador cuando reemplazas los dos dieléctricos por uno solo:

$\dst W = - \Delta U = \frac 1 2 \frac {Q^2}{C_\text {inicial}} - \frac 1 2 \frac {Q^2}{C_\text {final}}$

donde $\dst Q = \frac 8 5 \frac {\epsilon S} d V$ es la carga determinada por Zhisi en su primer mensaje. Si no he metido la pata, eso debe dar $\dst W = - \frac {12}{25} \frac {\epsilon S} d V^2$.

Cometes un error al asumir que el voltaje es el mismo. Al cambiar el dieléctrico el voltaje cambiará; lo constante aquí será la carga, por estar aislado el condensador.

Saludos,

Al

PD.

...¿y las dudas que comento?
...

Veamos...

¿Por qué el vector desplazamiento es cte entre las placas? Creo que nos lo dijeron en clase pero no lo recuerdo.

El desplazamiento sólo depende de la carga libre. Por otra parte la simetría del problema indica que $\boldsymbol D$ es uniforme.

Aquí me surge una duda. En el punto de unión de los dos dieléctricos ¿no sucede nada? quiero decir ¿se comportan igual que si sólo hubiera un dieléctrico?

En la frontera entre los dos dieléctricos existe una capa superficial de la carga de polarización resultante de las polarizaciones de cada dieléctrico. Es esta capa superficial de carga la responsable del cambio en el valor del campo eléctrico cuando pasas de un dieléctrico al otro.

[Zhisi]

Re: Condensador plano con dos dieléctricos

Si no he metido la pata, eso debe dar

Edito: Totalmente de acuerdo.

[Al2000]

Re: Condensador plano con dos dieléctricos

Zhisi, trata de integrar el chequeo dimensional en tu cerebro. En la primera línea estás poniendo que un potencial es igual al producto de un potencial por una distancia. La última línea es una pesadilla dimensional

Saludos,

Al

[Zhisi]

Re: Condensador plano con dos dieléctricos

Jajajajaja!! Estoy un poco hasta el moño de estos ejercicios y llevo unos días que no me centro, menos mal que mañana los tengo que entregar ya... Sigo arrastrando el fallo en las dimensiones de E del principio y tengo despistes tontos que destrozan mi trabajo... vamos que soy un puNto desastre jajaja!! Si pudiera te fichaba como "advertimentista" para mis exámenes jajaja!

He rehecho el ejercicio entero y tienes razón (ya he editado lo del mensaje de arriba).

Gracias de nuevo.