fuerzas de impulso generalizado

[_RenE_]

Bueno le he estado dando vueltas a este problema que esta en elibro de mecanica clasica de Hauser, y no he podido resolverlo aun, asi que espero que algiuien me poueda dar alguna idea por favor::

Cuando las fuerzas actúan únicamente durante un corto intervalo de tiempo, como en un choque o colisión, reciben el nombre de fuerzas de impulso. El término impulso está dado por:

$\displaystyle \vec{I}=\int_{\Delta t}\vec{F}dt$

Donde la integración de hace solamente durante el tiempo infinitesimal $\Delta t$, en el que actúan las fuerzas. Demostrar que si hay fuerzas de impulso, las ecuaciones de Lagrange se pueden transformar en:

$<br /> $$<br /> \displaystyle \Delta \left(\frac{\partial T}{\partial\dot{q}_{i}}\right)=\Delta \frac{\partial U}{\partial\dot{q}_{i}}+I_{i}<br /> $$<br />$

Donde $I_{i}$ es la fuerza de impuso generalizada correspondiente a $q_{i}$


bueno ese es el problema, aunque yo lo intente hacer hallando primero que el impuso generalizado era igual al cambio de la cantidad de movimiento generalizada del punto material, lo cual es el primer termino de la ecuación anterior, pero es el impulso generalizado y no la fuerza de impulso generalizada como pide el problema, además el termino: $\Delta \frac{\partial U}{\partial\dot{q}_{i}}$, me hace suponer que este potencial que aparece es un potencial generalizado (pues el potencial por lo general no depende de las velocidades generalizadas), pero el libro no lo menciona. Espero su ayuda

salu2

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Re: fuerzas de impulso generalizado

Pues ese resultado sale fácilmente con las dos siguientes suposiciones:

$$\frac{\partial T}{\partial q_i} = 0 \ ,$$

$$\frac{\partial U}{\partial q_i} =-F_i \ .$$

(1a) tiene mala pinta, una coordenada polar no la cumple por ejemplo. La segunda se cumple también en coordenadas cartesianas ($\vec{F} = - \vec {\nabla} U$). ¿Quizá te dicen que esto se cumple solo en cartesianas? Bueno, suponiendo que eso se cumpla, simplemente substituir en E-L:

$$<br /> \begin{gathered}<br /> \frac{\dd}{\dd t} \frac{\partial L}{\partial\dot q_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i}=0\ , \\<br /> \frac{\dd}{\dd t} \left( \frac{\partial T}{\partial\dot q_i} - \frac{\partial U}{\partial\dot q_i} \right) + \frac{\partial U}{\partial q_i} = 0\ , \\<br /> \frac{\dd}{\dd t} \left( \frac{\partial T}{\partial\dot q_i} - \frac{\partial U}{\partial\dot q_i} \right) = F_i\ .<br /> \end{gathered}<br />$$

Y ahora podemos integrar el tiempo

$$<br /> \Delta \left( \frac{\partial T}{\partial\dot q_i} - \frac{\partial U}{\partial\dot q_i} \right) = I_i\ .<br />$$

Que es lo que te piden. Así hecho, parece que sólo será válido en cartesianas.

[_RenE_]

Re: fuerzas de impulso generalizado

Y ahora podemos integrar el tiempo

$$<br /> \Delta \left( \frac{\partial T}{\partial\dot q_i} - \frac{\partial U}{\partial\dot q_i} \right) = I_i\ .<br />$$

Que es lo que te piden. Así hecho, parece que sólo será válido en cartesianas.

Muxas gracias por tu ayuda aunque creo que me dejas con la misma duda (y caes en un error en el que tambien cai yo), pues el problema hace referencia que

$$I_i$$

es la fuerza de impulso generalizada, lo que has obtenido seria el impulso generalizado que evidentemente no es lo mismo, o tal vez yo tenga un error de conceptos pues creo que F (que aparece en ela integral del enunciado), es la fuerza de impulso, e I es el impulso.


salu2

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Re: fuerzas de impulso generalizado

Muxas gracias por tu ayuda aunque creo que me dejas con la misma duda (y caes en un error en el que tambien cai yo), pues el problema hace referencia que

$$I_i$$

es la fuerza de impulso generalizada, lo que has obtenido seria el impulso generalizado que evidentemente no es lo mismo, o tal vez yo tenga un error de conceptos pues creo que F (que aparece en ela integral del enunciado), es la fuerza de impulso, e I es el impulso.


salu2

Esa $I_i$ es la que has definido tú;

$$I_i = \int_{\Delta t} \dd t\, F_i\ .$$