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Hilo: Lentes - dioptría esférica

  1. #1
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    Question Lentes - dioptría esférica

    Una lente biconvexa delgada de índice de refracción igual a 3/2 se encuentra horizontal en un espejo plano, como se muestra en la figura. El espacio entre la lente y el espejo se llena con agua de índice de refracción igual a 4/3. Se puede ver cuando un objeto se coloca 15 cm y en el eje principal, la imagen cae en la misma posición. Extracción del agua y la colocación de otro líquido (hasta la misma altura), la imagen de objeto coincide con una distancia de 25 cm. Calcular el índice de refracción de este otro líquido.

    Nombre:  13yfrcj.jpg
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    Answer: n = 1,6

  2. #2
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    Predeterminado Re: Lentes - dioptría esférica

    Bonito (y complicado) ejercicio!

    En primer lugar, podemos prescindir del espejo y considerar el sistema como si fuesen dos lentes iguales, pegadas, que tienen un líquido entre ellas (agua en el primer caso, y en el segundo el líquido cuyo n_l debemos calcular).

    El dato de que la imagen se forma en el mismo lugar donde está el objeto nos permite calcular la potencia del sistema en cada caso: usando la ecuación de las lentes delgadas debes encontrar que dicha potencia es
    \dst P=\frac{2}{|s|}
    de manera que con el agua es P_{agua}=\frac{20}{3}\,\rm D y con el líquido es P_{liq}=4\,\rm D.

    Nuestro problema es entonces encontrar la expresión para la potencia de un sistema de dos lentes delgadas biconvexas pegadas y entre las cuales hay un líquido de índice de refracción n_l, mientras que fuera de ellas hay aire (n=1). Voy a llamar R al radio de curvatura (en valor absoluto) de las caras de la lente y n_v al índice de refracción del material de la lente (escribo el subíndice "v" por "vidrio").

    Recordemos que en un dioptrio esférico de radio r que separa dos medios de índices n_1 y n_2 se cumple (con un criterio de signos izquierda-derecha) la relación
    \dst \frac{n_2}{s'}-\frac{n_1}{s}=\frac{n_2-n_1}{r}
    donde uso s' para referirme a la distancia imagen y s para la distancia objeto.

    Tendremos que aplicar esta expresión a cada una de las cuatro refracciones que se producen en las superficies esféricas de radio R, teniendo en cuenta que el centro de la primera estará a la derecha, el de la segunda a la izquierda, el de la tercera a la derecha y el de la cuarta a la izquierda.

    En la primera refracción tenemos que (2) toma la forma
    \dst \frac{n_v}{{s_1}'}-\frac{1}{s}=\frac{n_v-1}{R}

    En la segunda la distancia objeto es la misma que la distancia imagen de la refracción anterior, es decir
    \dst \frac{n_l}{{s_2}'}-\frac{n_v}{{s_1}'}=\frac{n_l-n_v}{-R}=\frac{n_v-n_l}{R}
    donde he tenido en cuenta que la superficie de la segunda refracción tiene, con el convenio de signos, un radio de curvatura negativo e igual a -R.

    Si sumamos miembro (3) y (4) tenemos
    \dst \frac{n_l}{{s_2}'}-\frac{1}{s}=\frac{2n_v-n_l-1}{R}

    En la tercera refracción la distancia objeto es la misma que la distancia imagen de la segunda refracción, luego
    \dst \frac{n_v}{{s_3}'}-\frac{n_l}{{s_2}'}=\frac{n_v-n_l}{R}

    Si la sumamos miembro a miembro con (5) nos queda
    \dst \frac{n_v}{{s_3}'}-\frac{1}{s}=\frac{3n_v-2n_l-1}{R}

    En la cuarta refracción la distancia objeto es la misma que la distancia imagen de la tercera refracción, con lo que ahora
    \dst \frac{1}{s'}-\frac{n_v}{{s_3}'}=\frac{1-n_v}{-R}=\frac{n_v-1}{R}
    donde hemos tenido en cuenta, como antes, que ahora el centro de curvatura está a la izquierda, y por eso el radio es -R.

    Si la sumamos miembro a miembro con (6) nos queda
    \dst \frac{1}{{s}'}-\frac{1}{s}=\frac{4n_v-2n_l-2}{R}=\frac{2}{R}(2n_v-n_l-1)

    Si lo aplicas al caso en que hay agua tienes
    \dst P_{agua}=\frac{2}{R}(2n_v-n_{agua}-1)
    y con eso calculas el valor de 2/R.

    Después aplicas (8) al caso en que hay el líquido incógnita y así obtienes su índice de refracción.
    A mi amigo, a quien todo debo.

  3. El siguiente usuario da las gracias a arivasm por este mensaje tan útil:

    luiseduardo (17/05/2013)

  4. #3
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    Predeterminado Re: Lentes - dioptría esférica

    Hola,
    " El dato de que la imagen se forma en el mismo lugar donde está el objeto nos permite calcular la potencia del sistema en cada caso: usando la ecuación de las lentes delgadas debes encontrar que dicha potencia es .. "

    El "potencia" tiene otro significado en portugués, ¿Podría explicar con más detalle lo que hizo en este caso?

  5. #4
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    Predeterminado Re: Lentes - dioptría esférica

    Potencia (creo que en portugués es vergência) es el inverso de la longitud focal, P=1/f. La ecuación de las lentes delgadas, si se usa un criterio izquierda-derecha para los signos es
    \dst P=\frac{1}{f}=\frac{1}{s'}-\frac{1}{s}
    En este caso, la distancia imagen es igual a la distancia objeto. En realidad, con el criterio de signos izquierda derecha la distancia objeto es negativa s=-|s|, mientras que la distancia imagen sería positiva. Por eso s'=-s=|s|. Al substituir en la fórmula anterior queda P=2/|s|.

    Con un criterio real-virtual será
    \dst P=\frac{1}{f}=\frac{1}{s'}+\frac{1}{s}
    y entonces ambas distancias serán positivas e iguales, s'=s>0 y, por supuesto, de nuevo P=2/s.
    A mi amigo, a quien todo debo.

  6. #5
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    Predeterminado Re: Lentes - dioptría esférica

    Revivo este hilo porque me acordé de él y me di cuenta de que hay una forma más sencilla de resolverlo que la que puse en su momento, en concreto en lo que se refiere a la potencia del sistema.

    El espejo simplemente duplica el sistema, de manera que éste equivale a tres lentes contiguas: la biconvexa, una bicóncava del mismo radio constituida por el líquido (pues el líquido equivale a una planocóncava pegada a otra idéntica) y de nuevo la biconvexa. Llamando n_v al índice de la lente y n_l al del líquido, como la potencia de la lente es
    \dst P_v = (n_v-1)\frac{2}{R}
    y la de la lente líquida es
    \dst P_l=-(n_l-1) \frac{2}{R}
    la potencia del sistema es
    \dst P = 2P_v+P_l=(2n_v-n_l-1)\frac{2}{R}

    El resto continúa igual que antes.
    Última edición por arivasm; 20/06/2017 a las 00:14:27.
    A mi amigo, a quien todo debo.

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