Otras carreras circuito en estado estacionario

[LauraLopez]

Encuentre v para t >0 si el circuito se encuentra en estado estacionario en t= 0-

Bueno de izquierda a derecha tenemos :

- Una resistencia de 2 ohm
-una inductancia de 1 H
-una resistencia de 2 ohm

Luego los componentes verticales son :

-un capacitor de 1/4 F ( v es el voltaje entre sus bornes )
y una fuente de 8 V

entre la inductancia y la resistencia de la derecha hay un interruptor que se cierra conectando las mismas en t=0

Bueno no estoy segura de como resolverlo....plnatie algunas cosas pero nose si son correctas o si llevan a la solucion.

Primero en estado estacionario tendria que el voltaje inicial v(0)= 0 esta seria mi condicion inicial.

Luego en t= 0+ tengo que llamo i a la corriente que circula por la malla de la derecha y supongo que la misma circula en sentido antihorario entonces planteo KVL y tengo :

$\dst -8 + 2i + \frac{di}{dt } + 4 \int_0^t i(t)$

Derivo y tengo :

$\dst \frac{{d}^{2 } i}{d t^2 } + 2 \frac{d i}{dt } + 4 i = 0$

cuya ecuacion caracteristica es :

$\dst S^2 + 2 S + 4 = 0$

y las soluciones son :

$\dst s_1 = -1 - j \sqrt{3}$

$\dst s_2 = -1 +j \sqrt{3}$

y la solucion tentativa para la respuesta natural es:

$\dst i_n(t) = B_1 {e}^{-t } \cos \sqrt{3}t + B_2 {e}^{-t } \sin \sqrt{3}t$

y en cuanto al termino forzado no hay .

hasta aca pude llegar, pero nose si estoy haciendo bien porque estoy llegando a una solucion para i y lo que me piden es una solucion para v.... que mas puedo hacer? o lo que hice esta mal?

Gracias

[arivasm]

Re: circuito en estado estacionario

Quizá lo mejor hubiese sido tratar de llegar a una ecuación diferencial en v, en vez de i. Pero creo que puedes seguir sin mayor problema.

Desde luego, tienes una condición inicial para la i, que es que en t=0- vale 1/4 A [esto es incorrecto, es 0]. Eso significa que B_1=1/4, y B_2 queda, por ahora, indeterminado.

Edito: como se comenta más adelante, debe ser B_1=0.

Ahora basta con tratar de expresar v en función de i. Para ello podemos usar la ley de las mallas aplicada a la de la derecha: $8=2i+\frac{\dd i}{\dd t}+v$. La B_2 que nos quedó indeterminada se obtiene con la condición v(0)=0

[LauraLopez]

Re: circuito en estado estacionario

en estacio estacionario la la fuente de voltaje no aparece en el circuito entonces no seria que no tengo corriente? o sea i= 0 ? como llegas a ese valor de corriente? yo re dibuje el circutio en estado estacionario y me queda solamente la resistencia de 2 ohm y la inductancia de 1 H

[arivasm]

Re: circuito en estado estacionario

He manejado mal (ya ves que últimamente ando tonto!) el sentido en el que cerraba el interruptor. Tienes razón, en t=0- es i=0, lo que facilita aún más el problema, pues será B_1=0.

[LauraLopez]

Re: circuito en estado estacionario

BUeno ahi con lo que me dijiste puedo encontrar B_2 y llego a que $\dst B_2 = \frac{8}{\sqrt{3} }$

Entonces finalmente tengo que
$\dst i_n(t) = \frac{8}{\sqrt{3} } {e}^{-t } \sin \sqrt{3} t$

Luego para obtener v(t) lo que hago es :

$\dst v(t) = 4 \int_0^t i(t) dt = \frac{32}{\sqrt{3}} \int_0^t {e}^{-t } \sin \sqrt{3 t}dt$ esta bien?

[arivasm]

Re: circuito en estado estacionario

Pero i no es la corriente que circula por el condensador. Te faltaría tener en cuenta la de la malla izquierda. ¿Por qué no recurrir a la KVL de la malla de la derecha, como te dije antes, $\dst 8=2i+\frac{\dd i}{\dd t}+v$?

[LauraLopez]

Re: circuito en estado estacionario

mmmm que hice mal?

yo use esa formula que vos decis justamente de donde tengo que :

$\dst v = 8 -2 i - \frac{d i }{dt }$

usando la condicion inicial v(0)=0 tengo que

$\dst v (0)= 8 -2 i(0) - \frac{d i (0) }{dt }$

$\dst \frac{d i(0)}{ dt} = 8$

Entonces de aca tengo que

$\dst - B_2 \sin 0 + \sqrt{3} B_2 \cos 0 = 8$

entonces $\dst B_2 = \frac{8}{\sqrt{3} }$

Finalmente $\dst i(t) = \frac{8}{\sqrt{3} }{e}^{-t } \sin \sqrt{3} t$

no era eso lo que me decias? que hice mal?

Ahhh ya entendi lo que decias, a esto ultimo que hice ahora me falta decir que :

$\dst v(t) = 8 - \frac{16}{\sqrt{3} } {e}^{-t } \sin \sqrt{3}t + \frac{8}{\sqrt{3} } {e}^{-t } \sin \sqrt{3} t + 8 {e}^{-t } \cos \sqrt{3}t$

ahora si estaria bien?

[arivasm]

Re: circuito en estado estacionario

Prácticamente correcto, si no me equivoco. Creo que tienes mal un signo: $\dst v(t) = 8 - \frac{16}{\sqrt{3} } {e}^{-t } \sin \sqrt{3}t + \frac{8}{\sqrt{3} } {e}^{-t } \sin \sqrt{3} t - 8 {e}^{-t } \cos \sqrt{3}t$ (es el último; de hecho, si no fuese así no se cumpliría que v(0)=0). Por cierto, mejor lo escribimos así: $\dst v(t) = 8 - \frac{8}{\sqrt{3} } {e}^{-t } \sin \sqrt{3}t - 8 {e}^{-t } \cos \sqrt{3}t$