Divulgación Utilidad formulación lagrangiana

[alexpglez]

Hola, acabo de leer un poco sobre las ecuaciones de lagrange, pero no entiendo demasiado bien para qué sirve del todo. Según la ecuación:

$$\frac{\dd }{\dd t}[\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}]-\frac{\partial L}{\partial q_i}=0$$

Siendo $L=E_c-E_p$
Rápidamente se ve que el primer término tiende a $m \ddot \vec r$ Y el segundo a una $\vec F$ a la que esté sometida la partícula, es decir, toma la forma de la ecuación de newton, que después hay que resolver...
Entonces, qué utilidad tiene, si lo que haces es reescribir la fórmula de newton¿?

Quizá debería seguir leyendo algo más antes de tener algún prejuicio, pero según leí antes de verlo matemáticamente, que simplificaba un montón los cálculos y que cuando Richard Feynman lo incorporó a la mecánica cuántica podía hacer cálculos muy rápidos. No sé.. Me esperaba una herramienta bastante más potente.


Y lo estoy siguiendo con un libro de mecánica clásica de H. Goldstein, me preguntaba si es buen libro para iniciarse al formalismo hamiltoniano y lagrangiano y verlo completamente¿?

Gracias!

[arivasm]

Re: Utilidad formulación lagrangiana

El formalismo lagrangiano es, como dices, una consecuencia de las leyes de Newton. Simplificando, su mayor interés reside en que se libera de las coordenadas de las partículas, permitiendo formular los problemas sobre el número mínimo de coordenadas necesario para describir completamente el estado del sistema. Por ejemplo, si se trata de un péndulo doble basta con considerar el par de ángulos que forman las varillas con la vertical*. Entonces se expresan las energías cinética y potencial en función de los mismos, se resuelve el par de ecuaciones resultantes y listo. El formalismo newtoniano, que parte de considerar las fuerzas, aceleraciones y bla bla bla es bastante más farragoso.

*Y entonces usar dos coordenadas en lugar de cuatro.

Digamos que lo que has encontrado es que si empleas las coordenadas cartesianas entonces se reduce a la 2ª ley. Pero eso no es más que un rascado realmente somero. Te aseguro que es una herramienta realmente bastante más potente que la 2ª ley de Newton considerara tal cual.

Con respecto al libro es ciertamente uno de los buenos. Eso sí, conviene hincarle el diente una vez que se cuenta con una formación aceptablemente sólida respecto del formalismo newtoniano (especialmente en lo que se refiere a los teoremas de conservación) y también contar con una formación igualmente sólida en la resolución de ecuaciones diferenciales. Yo no se lo aconsejaría a un alumno de secundaria (que no sé si es tu caso, lo digo porque es lo que te has puesto en "nivel")

[alexpglez]

Re: Utilidad formulación lagrangiana

Pues seguiré leyendo para ver cómo solucionar estos problemas con el lagrangiano.
Sobre lo del libro, creo que sí que como dices debería tener bastante más experiencia en el formalismo newtoniano, pero creo que lo podré entender bastante aun así.
Sobre el nivel, es cierto que estoy en secundaria pero creo que tengo bastante más nivel en muchos aspectos con respecto a alumnos de final de segundo de bach.. mi nivel es bastante difuso, pero creo que me puede valer para entenderlo. Aunque con las ecuaciones, creo que con métodos como el de las transformadas de Laplace me van a dejar de ser útiles para muchas ecuaciones importantes..

Y Gracias, seguiré leyéndolo entonces

[Weip]

Re: Utilidad formulación lagrangiana

Sobre el nivel, es cierto que estoy en secundaria pero creo que tengo bastante más nivel en muchos aspectos con respecto a alumnos de final de segundo de bach..

A la vista de varios hilos tuyos que he leído, permíteme decir que de final de primero de carrera/segundo. Igual en otra década hubiera sido el de segundo de bachillerato, pero estos últimos años vamos de mal en peor en cuanto a temarios. Sin duda muy alto para alguien en secundaria, en esto me quedé sorprendido contigo.

[felmon38]

Re: Utilidad formulación lagrangiana

Alex, para que no quede mal Newton, la ecuación que has indicado, tiene limitaciones frente a la formulación de Newton, p.e. que no permite calcular las fuerzas pasivas (que no realizan trabajo ) y que solo se aplica a sistemas mecánicos sobre lo que la única fuerza activa sea el peso. En el ejemplo que te propone Arivasm, no se podría calcular la reacción en el apoyo o el movimiento del doble péndulo al recibir un impulso.
De todas formas las ecuaciones de Lagrange pueden tener la misma potencia de cálculo que la formulación de Newton añadiendo los términos correspondientes a las llamadas fuerzas generalizadas, para tener en cuenta las fuerzas activas, así como los términos de los multiplicadores de Lagrange, para tener en cuenta las fuerzas pasivas,añadiendo los correspondientes grados de libertad.
Saludos

[alexpglez]

Re: Utilidad formulación lagrangiana

Gracias, me lo iré mirando por mi cuenta. Sobre esto último que comentas, en el caso que venía la máquina de atwood (una polea simple), no podía predecir la tensión de la cuerda.