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Hilo: Problema II

  1. #1
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    Predeterminado Problema II

    La velocidad de acumulación de basura en un vertedero viene dada por: \frac{d(x(t))}{dt} = k x^2. Me dicen que x(0) = 3; x(2) = 9 y me preguntan que qué consecuencias "desastrosas" tendrá el modelo de acumulación.


    \int \frac{d(x(t))}{x^2} =  k \int dt \to \frac{-1}{x} = kt + C \to x (t) = \frac{-1}{kt + C}

    Además, me sale que C = \frac{-1}{3}; k = \frac{1}{9}. Entonces, x(t) = \frac{-1}{t/9 - 1/3}

    Y el límite de esto (cuando t \to \infty) es cero, así que o lo estaré haciendo mal, pues no sé responder al último apartado
    \boxed{\delta S = 0}

    "Somos como mariposas, que revolotean por un día y creen que es para siempre"



  2. #2
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    Predeterminado Re: Problema II

    Lo has hecho bien.
    Para ver la catástrofe da valores al tiempo, 0, 1, 2, 2.5, 2.9, 2.99, 2.999,......, 2.999999,..... 3
    ¿Ves la catástrofe?
    Saludos

  3. El siguiente usuario da las gracias a Alriga por este mensaje tan útil:

    The Higgs Particle (17/12/2015)

  4. #3
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    Predeterminado Re: Problema II

    Que cuando t \to 3^- la concentración de basura es "\infty" (por la derecha es menos infinito); hay una asíntota vertical
    Última edición por The Higgs Particle; 17/12/2015 a las 20:20:59.
    \boxed{\delta S = 0}

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  5. #4
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    Predeterminado Re: Problema II

    En efecto, cuando te acercas a 3 unidades de tiempo la acumulación de basura tiende a infinito.
    Tú buscabas la catástrofe muuuuy lejos, (t \to \infty) cuando la tenías a la vuelta de la esquina,
    Saludos.

  6. El siguiente usuario da las gracias a Alriga por este mensaje tan útil:

    The Higgs Particle (17/12/2015)

  7. #5
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    Predeterminado Re: Problema II

    Es un buen ejemplo de cómo "poner bonitas" las cosas ayuda: si seguimos un poco más y eliminamos esas feas fracciones en el denominador, \dst x(t) = \frac{-1}{t/9 - 1/3} = \frac{9}{3-t}, el comportamiento asintótico se ve con más claridad.
    Última edición por arivasm; 18/12/2015 a las 01:41:56. Razón: Poner la expresión "aún más bonita"
    A mi amigo, a quien todo debo.

  8. El siguiente usuario da las gracias a arivasm por este mensaje tan útil:

    The Higgs Particle (17/12/2015)

  9. #6
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    Predeterminado Re: Problema II

    Como estos ejercicios suelen ser de los que te piden el límite al infinito, ni había pensado en las asíntotas y la anulación del denominador :P
    \boxed{\delta S = 0}

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