Otras carreras Es correcto decir que la integral entre un mismo punto es 0?

[danielandresbru]

Hola, tengo una duda y es que no se si es correcto que la integral definida de "a" hasta "a" de f(x)dx sea 0. Porque si ves la integral como la suma de de los valores que va tomado la funcion por un diferencial dx, entonces si haces la suma desde "a" hasta "a" es solo sumar un término, y por tanto esa integral daría f(a)dx. Se que noes mucha diferencia pero quisiera saber en realidad que es más correcto que la integral de un punto a un mismo punto es 0 exacto o un diferencial.
Muchas gracias de antemano.

Saludos

[arivasm]

Re: Es correcto decir que la integral entre un mismo punto es 0?

Basta con que pienses en la regla de Barrow. $\int_a^a f(x)\dd x=F(a)-F(a)=0$. El resultado será un diferencial si los límites de integración no son iguales, sino que se diferencian en un diferencial. Es decir, $\int_a^{a+\dd x} f(x)\dd x = f(a)\dd x$

[The Higgs Particle]

Re: Es correcto decir que la integral entre un mismo punto es 0?

Perdonad que me meta en el hilo, pero a mí también me han entrado dudas

El resultado será un diferencial si los límites de integración no son iguales [...] $\int_a^{a+\dd x} f(x)\dd x = f(a)\dd x$

Arivasm, gráficamente veo muy bien el resultado de esa expresión, pero nunca lo había visto así escrito (en realidad, tampoco había visto así escritos los límites de integración). ¿De dónde sale esa expresión?

[arivasm]

Re: Es correcto decir que la integral entre un mismo punto es 0?

De la propia regla de Barrow y del concepto de derivada: $\dst f(a)=F'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{F(a+h)-F(a)}{h}$. Teniendo en cuenta (y aquí no quiero meterme en la discusión que hay en otros hilos acerca del concepto de diferencial) que por $\dd x$ estamos expresando precisamente el infinitésimo $h\to 0$, tenemos que $F(a+\dd x)-F(a)=f(a)\dd x$

[The Higgs Particle]

Re: Es correcto decir que la integral entre un mismo punto es 0?

Claro ahora, Arivasm. Mil gracias!

[ignorante]

Re: Es correcto decir que la integral entre un mismo punto es 0?

Hola a todos. Me permitiré dar mi visón pedestre de esta cuestión. Yo entiendo que la integral definida de la función f(x) entre el punto x=a y el punto x=b equivale al área bajo la curva f(x) entre a y b. Si sólo se considera el punto a, entonces no se forma área y por lo tanto su valor es cero. Saludos.




PD. No sé si subí correctamente la imagen de acuerdo con la nueva normativa del foro. Si hice algo mal, agradecería que me explicaran cómo corregirlo. Gracias.

[arivasm]

Re: Es correcto decir que la integral entre un mismo punto es 0?

Desde luego la propia definición de integral es otro punto de vista que vuelve inmediata la respuesta (y también, por cierto, la aclaración a la pregunta de THP).

PD: Entiendo que la imagen aquí es perfectamente procedente. La intención de la norma es limitar el uso innecesario de adjuntos.

[ignorante]

Re: Es correcto decir que la integral entre un mismo punto es 0?

Daniel, leyendo con más atención tu pregunta original me parece que tienes un error conceptual:

si haces la suma desde "a" hasta "a" es solo sumar un término

Creo que aquí tienes una visión equivocada. Al “ir de a hasta a” no estás sumando ningún término (ninguna área). Cuando resuelves una integral definida lo que sumas son áreas infinitesimales bajo la curva entre a y b. Si estás en un punto a, no hay área que sumar (sólo tienes una raya vertical). Las áreas se forman entre dos puntos del eje x.



Saludos.


PD. Gracias por la aclaración arivasm.

[danielandresbru]

Re: Es correcto decir que la integral entre un mismo punto es 0?

Muchas gracias, ignorante.

[ignorante]

Re: Es correcto decir que la integral entre un mismo punto es 0?

Muchas gracias, ignorante.

De nada Daniel. Reitero que mi explicación es muy simplona, pero creo que es válida para un nivel básico. Acabo de revisar el hilo sobre qué es un diferencial y casi me da un infarto neuronal. Para mí un diferencial dx es simplemente un incremento infinitamente chiquito de la variable x (la base de los rectángulitos que se suman en una integral definida). Saludos.

[guibix]

Re: Es correcto decir que la integral entre un mismo punto es 0?

Buenas!

Leyendo este hilo se me ha pasado por la cabeza que quizás haya algunos casos en que el anunciado de Daniel tiene sentido. Por ejemplo con la delta de Dirac.

$\int_a^a\delta(x-a)\dd x$

¿No sería esto igual a uno?

Saludos.

[arivasm]

Re: Es correcto decir que la integral entre un mismo punto es 0?

Córcholis! Perdón porque escriba con tan poca convicción: a la espera de alguien que sí sepa de lo que habla (no como yo) apuesto que el resultado de la integral que pones (con a en ambos límites) es indefinido...

[guibix]

Re: Es correcto decir que la integral entre un mismo punto es 0?

Córcholis! Perdón porque escriba con tan poca convicción: a la espera de alguien que sí sepa de lo que habla (no como yo) apuesto que el resultado de la integral que pones (con a en ambos límites) es indefinido...

Recórcholis! Haha! Yo que pensaba que saldría alguien diciendo que es cero. "Indefinido" era lo que menos esperaba.

[danielandresbru]

Re: Es correcto decir que la integral entre un mismo punto es 0?

Creo que esa integral está indefinida, es como integrar 1/x desde 0 hasta 0

[pod]

Re: Es correcto decir que la integral entre un mismo punto es 0?

No es que esté en desacuerdo con lo dicho en el hilo hasta ahora, pero creo que la respuesta más formal a la pregunta del hilo seria esta: la integral de Riemmann se define sobre un intervalo compacto, [a, b]. Si uno quiere mirar la integral sobre un único punto, la forma de hacerlo seria mediante un límite,

$$\int_a^a\!\!\dd x\ f(x) = \lim_{b\to a}\int_a^b\!\!\dd x\ f(x) .$$

Si uno puede usar la regla de Barrow y la primitiva es continua, entonces esto dará cero sin ningún problema. Pero hay ocasiones en que esta suposición no se cumple. Por ejemplo, la integral de 1/x al rededor de 0, como comentaba danielandresbru. Esta integral, al tener una asíntota vertical, sólo se puede realizar mediante un límite cuando $a\to 0$. Así que tendríamos algo tal que así

$$\lim_{a\to 0\atop b\to 0} \int_a^b \!\!\dd x\ \frac{1}{x} =\lim_{a\to 0\atop b\to 0} \ln\frac{|b|}{|a|} .$$

Este es uno de esos límites en dos dimensiones de primero de carrera que es muy fácil demostrar que no existen, pero muy difícil demostrar que sí cuando es el límite. Para que exista, el límite debe ser independiente de cómo nos aproximamos al origen. Si me aproximo al origen de dos formas diferentes y el resultado es diferente, entonces el límite no existe. Por ejemplo, yo puedo aproximar según una recta b=ma, si el límite existe entonces el resultado no puede depender de m (el límite debería ser independiente de la pendiente de la recta). Es fácil ver que el resultado seria $\ln|m|$, y que por lo tanto el límite no existe.

En conclusión, la integral entre 0 y 0 de 1/x no existe. Simplemente porque la definimos como un límite, y ese límite no existe.

Sobre el caso de la delta de Dirac, a mi me parece incorrecto decir que "no está definida". De nuevo, la integral de Riemman por si misma es un límite, y los límites sirven para "deshacer" las indefiniciones. Si haciendo un límite me encuentro una indeterminación, tengo técnicas para deshacerla (recordad, por ejemplo l'Hôpital, aunque no tenga nada que ver con este hilo); y al final o bien encuentro un valor, infinito o que el límite no existe (no es lo mismo "no existir" que estar "indefinido"; no existe significa que he podido demostrar que no hay valor alguno). Vamos como resolvemos el caso de la delta,

$$\lim_{\alpha\to a \atop \beta\to a} \int_\alpha^\beta \!\! \dd x\ \delta(x-a) .$$

Para resolver este límite, rescato el concepto de límites laterales. Si el límite existe, los límites laterales tienen que ser todos iguales. Por ejemplo,

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Esto es 1 porque el intervalo $[a^-,\ a^+]$ incluye a $a$. Otro límite lateral seria

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Cero porque el intervalo $[a^-,\ a^-]$ no contiene a $a$. Esto resuelve la indeterminación, y resulta que la integral de la delta no existe.


En general, aunque no he desarrollado una demostración general, me parece intuir que la integral de Riemann sobre un único punto, entendida como este tipo de límites, o bien da 0 o bien no existe.