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Hilo: Momento angular de partícula discreta

  1. #1
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    Predeterminado Momento angular de partícula discreta

    Hola, tengo el siguiente ejercicio:

    Una partícula de masa M se mueve con rapidez angular constante \omega en sentido contrario al de las manecillas del reloj y describiendo un círculo de radio R con centro en el origen de coordenadas cartesianas.

    (a) Calcule su momento angular respecto al punto A, en la posición \vec{r_A} = -R \hat{\imath}, en función del tiempo.
    (b) Calule el torque, respecto a A, qué actúa sobre la partícula. Verificar que \vec{\tau_A} = d\displaystyle\frac{\vec{L_A}}{dt }

    Hago lo siguiente:
    \vec{L_A} = \vec{r_A} \times \vec{P_A}) = m (\hat{r_A} \times \vec{v_A}) = mRv_A sin(\pi /2) \hat{k}

    \Rightarrow \vec{L} = m wR^{2} \hat{k}

    Lo anterior es correcto?
    Pero no entiendo que me piden \vec{L(t)} , cómo lo consigo?

    (b) Torque respecto de A

    \vec{\tau} = \vec{r_A} \times \vec{F} pero no conozco las fuerzas que actúan..

    Gracias de antemano, saludos.

  2. #2
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    Predeterminado Re: Momento angular de partícula discreta

    Hola Bruno, me imagino que cuando te piden el momento angular respecto de A , quieren decir el momento angular lar respecto de O, porque si no, valdrá cero. El momento angular lo tienes bien y como ves es constante, así que el torque, respecto de O, será cero, bueno y si es respecto de A, no digamos!
    Saludos

  3. El siguiente usuario da las gracias a felmon38 por este mensaje tan útil:

    bruno_uy (02/07/2016)

  4. #3
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    Predeterminado Re: Momento angular de partícula discreta

    El apartado A)

    \vec \omega= \omega \vec k

    \vec r=R \cos \phi \vec i+R \sin \phi \vec j

    \vec v= \vec \omega \times \vec r=-\omega R \sin \phi \vec i+\omega R \cos \phi \vec j

    \vec r_{OA}=-R \ \vec i

    \vec r_{OA} + \vec r_{AP} = \vec r

    \vec r_{AP}= R \cos \phi \vec i+R \sin \phi \vec j-( -R \ \vec i)

    \vec r_{AP}= R \ (1+\cos \phi) \ \vec i+R \sin \phi \ \vec j

    \vec L_A=\vec r_{AP} \times \vec p=\vec r_{AP} \times M \ \vec v=M \ R^2 \ \omega \ ( 1+\cos \phi...

    \phi=\omega \cdot t

    \vec L_A=M \ R^2 \ \omega \ [ \ 1+\cos( \omega \ t) \ ] \ \vec k

    El apartado B)

    \vec F=M \cdot \vec a

    En un movimiento circular uniforme la aceleración es centrípeta:

    \vec a=-\omega^2 \cdot \vec r

    \vec F=-M \omega^2 R \cos \phi \ \vec i-M \omega^2 R \sin \phi \ \vec j

    El par de la fuerza F respecto del punto A:

    \vec \Gamma_A =\vec r_{AP} \times \vec F

    Haciendo el producto vectorial calculamos el Par:

    \vec \Gamma_A =-M \omega^2 R^2 \sin \phi \ \vec k = -M \omega^2 R^2 \sin (\omega \ t)  \ \vec k

    Si ahora hacemos la derivada del momento lineal:

    \dfrac{d \vec L_A}{dt}= -M \omega^2 R^2 \sin (\omega \ t)  \ \vec k= \vec \Gamma_A

    Vemos que coincide con la expresión del Par.

    Saludos.
    Última edición por Alriga; 01/07/2016 a las 13:02:02. Razón: Añadir apartado B)

  5. El siguiente usuario da las gracias a Alriga por este mensaje tan útil:

    bruno_uy (02/07/2016)

  6. #4
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    Predeterminado Re: Momento angular de partícula discreta

    Hola Alriga, creo que el apartado b) está mal ya que la fuerza tiene la dirección del radio por lo que su momento respecto de O o de A será cero.
    Saludos

  7. #5
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    Predeterminado Re: Momento angular de partícula discreta

    gracias a ambos.

    Cita Escrito por Alriga Ver mensaje

    \vec r_{OA}=-R \ \vec i

    \vec r_{OA} + \vec r_{AP} = \vec r

    \vec r_{AP}= R \cos \phi \vec i+R \sin \phi \vec j-( -R \ \vec i)

    \vec r_{AP}= R \ (1+\cos \phi) \ \vec i+R \sin \phi \ \vec j

    \vec L_A=\vec r_{AP} \times \vec p=\vec r_{AP} \times M \ \vec v=M \ R^2 \ \omega \ ( 1+\cos \phi...

    \phi=\omega \cdot t

    \vec L_A=M \ R^2 \ \omega \ [ \ 1+\cos( \omega \ t) \ ] \ \vec k
    No entendí que es:
    \vec r_{AP} : Cuál es el punto P, un punto genérico?
    Y una pregunta: El momento angular no es constante como apreció felmon38?

    Te da que depende del ángulo.. no termino de entender.. saludos
    Última edición por bruno_uy; 02/07/2016 a las 05:21:25.

  8. #6
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    Predeterminado Re: Momento angular de partícula discreta

    Cita Escrito por felmon38 Ver mensaje
    … Hola Alriga, creo que el apartado b) está mal ya que la fuerza tiene la dirección del radio por lo que su momento respecto de O .... será cero …
    El enunciado no pide calcular el momento respecto de O. Y yo no lo he calculado, por lo que por ahí no puedo haberme equivocado.
    Si el enunciado pidiese calcularlo, habría que responder como dices: que es cero, ya que la fuerza es centrípeta y siempre pasa por O que es el centro del movimiento circular.

    Cita Escrito por felmon38 Ver mensaje
    … Hola Alriga, creo que el apartado b) está mal ya que la fuerza tiene la dirección del radio por lo que su momento respecto deA será cero …
    En esto no estoy de acuerdo.

    El punto A es un punto fijo (independiente del tiempo), definido por su vector de posición:

    \vec{OA} \ (-R, \ 0, \ 0)

    Mientras que la fuerza centrípeta es:

     \vec F \ (-M \omega^2 R \cos \phi, \ -M \omega^2 R \sin \phi, \ 0)

    Se ve claramente que \vec F y \vec{OA} solo tienen la misma dirección en 2 puntos de cada rotación, cuando \sin \phi =0 por lo tanto en \phi =0+k \pi

    Y los 2 puntos por vuelta en los que el torque es cero se ven claramente en la expresión general que he calculado:

    \vec \Gamma_A =-M \omega^2 R^2 \sin \phi \ \vec k

    Por lo tanto concluyo que si hubiese algún error en el apartado B), (que creo que no lo hay), en todo caso no sería el que tú señalas.

    Saludos.

  9. #7
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    Predeterminado Re: Momento angular de partícula discreta

    Naturalmente Alriga, interpreté que A era el punto material, como se puede deducir de mi primera contestación. Así que Bruno haz caso a Artiga y perdona.
    Saludos

  10. #8
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    Predeterminado Re: Momento angular de partícula discreta

    Cita Escrito por bruno_uy Ver mensaje
    No entendí que es:
    \vec r_{AP} : Cuál es el punto P, un punto genérico?
    Sí, P es el punto genérico en el que se halla la partícula en un instante de su movimiento circular.

    Cita Escrito por bruno_uy Ver mensaje
    Y una pregunta: El momento angular no es constante como apreció felmon38?
    No, lee mi respuesta a felmon38

    Cita Escrito por bruno_uy Ver mensaje
    Te da que depende del ángulo.. no termino de entender
    Naturalmente, depende de la posición en la que esté la partícula, y la posición de la partícula está parametrizada por el ángulo. La argumentación que he hecho en la resolución del ejercicio es correcta.

    Saludos.

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