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Hilo: Ecuación diferencial homogénea

  1. #1
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    Predeterminado Ecuación diferencial homogénea

    Hola, tengo la siguiente ecuación diferencial:

    y' = \frac{y-x}{y+x}

    Yo la empecé a hacer así: el cambio fue P=y/x

    \frac{dy}{dx} =\frac{y-x}{y+x} \to = \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{y}{x} - \frac{x}{x}}{\frac{y}{x} + \frac{x}{x} }

    = \frac{\frac{y}{x} -1}{\frac{y}{x} +1}


    Luego \frac{dy}{dx} =  \frac{dp}{dx} . x + P

     \frac{dp}{dx}.x + P = \frac{P-1}{P+1} \to \frac{dp}{dx}.x = \frac{P-1}{P+1} - P

    \to \frac{dp}{dx} .x = \frac{2p}{p+1} + C



    dp.x . (p+1) = 2p .dx

    integro las dos variables
    \int\frac{dp . (p+1)}{2p} = \int\frac{dx}{x}


    \frac{1}{2} . (p + ln\left\vert{} x \right\vert{}) = ln\left\vert{} x \right\vert{}

    ¿Tengo bien la ED? ¿cómo despejarían la "y"?

    Gracias

  2. #2
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    Predeterminado Re: Ecuación diferencial homogénea

    Cita Escrito por CARLIN Ver mensaje
    \frac{dp}{dx}.x = \frac{P-1}{P+1} - P

    \to \frac{dp}{dx} .x = \frac{2p}{p+1} + C
    No entendí muy bien lo que quisiste hacer aquí

  3. #3
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    Predeterminado Re: Ecuación diferencial homogénea

    Hola:

    Lo pase por Wolfram, y el resultado no es ni parecido.
    Lo voy a intentar resolver, por el mismo metodo que el tuyo.

    La ED original es:

    \dst y'(x) = \frac{y(x) - x}{y(x) + x}

    \dst y' = \frac{y - x}{y + x}

    Hacemos el cambio de variables \dst p(x) = y(x) / x \quad \Rightarrow \quad y = p \ x, calculando la derivada de y resulta \dst y' = p' \ x + p , reemplazando todo esto en la ecuación original:

    \dst p' \ x + p = \frac{p \ x - x}{p \ x + x}

    Operamos:

    \dst p' \ x + p = \frac{p - 1}{p + 1}

    \dst p' \ x = \frac{p - 1}{p + 1} - p

    \dst p' \ x = \frac{p - 1  - p (p +1)}{p + 1}

    \dst p' \ x = \frac{ - 1 - p^2 }{p + 1} = - \ \frac {p^2 + 1}{p + 1}

    \dst  p' \frac{p + 1}{ p^2 + 1} = - \ \frac 1 x

    y por ultimo:

    \dst  \frac{p}{p^2 + 1} \ dp + \frac 1{p^2 + 1} \ dp = - \ \frac 1 x \ dx

    y de acá, si no me equivoque, solo te queda integrar. También te dejo el resultado de Wolfram:



    s.e.u.o.

    Suerte !
    Última edición por Breogan; 28/12/2016 a las 00:27:26. Razón: Corregir errores
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    Entonces no estas prestando atención - Abe Simpson

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