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Hilo: ¿Cuándo empieza el dominio de la radiación?

  1. #1
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    Predeterminado ¿Cuándo empieza el dominio de la radiación?

    Hola

    Cuando empieza la época de radiación cuyo factor de escala es ~t^{1/2}??

    He leído en algunos textos que empieza desde un comienzo, en otros que empieza a los 1 segundos, en otro a los 10 segundos, y en otros a los 3 minutos.

    Saludos.

  2. #2
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    Predeterminado Re: ¿Cuándo empieza el dominio de la radiación?

    Yo diría que esas cifras diversas del comienzo y fin de la era son relativas a que definen "inicio y final de la época de la radiación" en función de diferentes fenómenos físicos, cosas como por ejemplo: "la era de la radiación se inicia con la aniquilación de pares y finaliza con el desacoplamiento de los fotones" o cosas así. Y ahí no entro.

    Pero en cambio, si tu pregunta es: ¿Entre que tiempos es válida la aproximación a=K \cdot \sqrt t ?

    Eso es fácil, la respuesta es:

    -- Desde el "final de la inflación" = "recalentamiento". Aquí hay ciertas discrepancias, pero t \sim 10^{-32} \ s

    -- Hasta que el error calculándolo con esta fórmula respecto al valor real que se obtiene integrando las ecuaciones completas de Friedman, sea superior al que tú desees aceptar.

    Si Error \leq 2 \% \Rightarrow t \leq 729 \ a\tilde nos

    Si Error \leq 11.6 \% \Rightarrow t \leq38851 \ a\tilde nos

    Por lo tanto si deseas cometer un error menor del 2% puedes aplicar la fórmula desde 10^{-32} \ s \leq t \leq 729 \ a\tilde nos

    Saludos.

    PD: si "t" en segundos, K \simeq \notcien{1.953857}{-10} y por lo tanto a=\notcien{1.953857}{-10} \cdot \sqrt t
    Última edición por Alriga; 15/02/2017 a las 17:46:15. Razón: Mejorar aspecto

  3. El siguiente usuario da las gracias a Alriga por este mensaje tan útil:

    alejandrito29 (09/02/2017)

  4. #3
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    Predeterminado Re: cuando empieza radiación dominación?

    Cita Escrito por Alriga Ver mensaje
    Pero en cambio, si tu pregunta es: ¿Entre que tiempos es válida la aproximación a=K \cdot \sqrt t ?

    Eso es fácil, la respuesta es:

    -- Desde el final de la inflación. Aquí hay ciertas discrepancias, pero t \sim 10^{-32} \ s

    K \simeq \notcien{1.953857}{-10}
    Muchas gracias, sí esa es mi pregunta.


    Cita Escrito por Alriga Ver mensaje
    PD: si "t" en segundos, K \simeq \notcien{1.953857}{-10}
    ¿me recomendarías algún libro en que salgan los valores de K,para a(t)=Kt^{3/2}??. Y además me diga entre que tiempos son validas las expresiones a(t)=Kt^{1/2}, a(t)=Kt^{3/2} y a(t)=\exp (H(t-t_0))
    Última edición por alejandrito29; 09/02/2017 a las 18:33:36.

  5. #4
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    Predeterminado Factor de escala en función del tiempo cosmológico

    No he encontrado en ningún libro de los que tengo ni buscando en Internet exactamente lo que pides, así que al final te lo he preparado yo. Lo que sigue es válido para un Universo plano, (curvatura = 0)

    Los valores de los ratios de densidad y del parámetro de Hubble que he utilizado, son los de consenso después del análisis de los datos de Planck-2015.


    1) Única ecuación de estado: RADIACION

    Si t en segundos: a=\notcien{1.953857}{-10} \ \sqrt{t \ }

    Si t en años: a=\notcien{1.097602}{-6} \ \sqrt{t \ }

    Intervalo preferente de aplicación:

    10^{-32} \ s \leq t \leq 170000 \ a\tilde nos


    2) Única ecuación de estado: MATERIA

    Si t en años: a=\notcien{1.494045}{-7} \ t^{2/3}

    Intervalo preferente de aplicación:

    170000 \ a\tilde nos \leq t \leq 11550000 \ a\tilde nos

    ( Nota: observa que el exponente es 2/3 y no 3/2 como tú has escrito por error disléxico-tipográfico )


    3) Única ecuación de estado: ENERGIA OSCURA, (Constante Cosmológica)

    Si t en años: a=0.481742 \cdot \exp{(\notcien{5.759292}{-11} \cdot t)}

    Intervalo preferente de aplicación:

    11550000 \ a\tilde nos \leq t \leq \infty

    En la tabla adjunta, en la segunda columna está el factor de escala “a” exacto calculado mediante las Ecuaciones de Friedmann. En las columnas siguientes, las aproximaciones de ecuación de estado única, con los correspondientes errores relativos.

    Ojalá te sea útil, saludos



    Tiempo
    cosmológico
    (años)
    Factor
    de escala
    a
    RADIACION
    ( 1 )
    % ERROR
    RADIACION
    MATERIA
    ( 2 )
    % ERROR
    MATERIA
    ENERGIA
    OSCURA
    ( 3 )
    % ERROR
    ENERGIA
    OSCURA
    8,3E-19 1,0000E-15 1,0000E-15 0,00%
    8,3E-07 1,0000E-09 1,0000E-09 0,00%
    8,3E-05 1,0000E-08 9,9999E-09 0,00%
    8,3E-03 1,0000E-07 9,9993E-08 0,01%
    0,829 0,000001 0,000001 0,07%
    20,612 0,000005 0,000005 0,34%
    323 0,000020 0,000020 1,31%
    718 0,000030 0,000029 1,93%
    1.948 0,000050 0,000048 3,11%
    7.375 0,000100 0,000094 5,74%
    40.358 0,000250 0,000221 11,8%
    56.016 0,000300 0,000260 13,4%
    137.563 0,000500 0,000407 18,6% 0,000398 20,4%
    444.476 0,001000 0,000732 26,8% 0,000870 13,0%
    5.788.967 0,005000 0,004817 3,7%
    16.801.463 0,010000 0,009801 2,0%
    192.298.459 0,050000 0,049775 0,4%
    545.503.653 0,100000 0,099746 0,3%
    1.541.526.868 0,200000 0,199372 0,3%
    2.814.143.082 0,300000 0,297802 0,7%
    4.278.576.724 0,400000 0,393759 1,6%
    5.863.552.436 0,500000 0,485815 2,8%
    7.505.449.049 0,600000 0,572728 4,5% 0,742238 23,7%
    9.151.719.639 0,700000 0,653681 6,6% 0,816056 16,6%
    10.763.885.115 0,800000 0,728355 9,0% 0,895455 11,9%
    12.317.381.827 0,900000 0,796849 11,5% 0,979265 8,81%
    13.799.001.762 1,000000 0,859532 14,0% 1,066496 6,65%
    15.203.580.633 1,100000 0,916912 16,6% 1,156354 5,12%
    20.086.210.962 1,500000 1,103983 26,4% 1,531851 2,12%
    24.874.216.574 2,000000 2,018252 0,91%
    31.803.636.333 3,000000 3,008127 0,27%
    36.771.281.978 4,000000 4,004500 0,11%
    40.635.956.553 5,000000 5,002794 0,06%
    43.797.301.345 6,000000 6,001849 0,03%
    46.471.643.667 7,000000 7,001265 0,02%
    48.788.938.734 8,000000 8,000872 0,01%
    50.833.283.235 9,000000 9,000592 0,01%
    52.662.203.334 10,00000 10,00038 0,00%
    64.696.357.608 20,00000 19,99946 0,00%
    80.605.988.466 50,00000 49,99821 0,00%
    92.641.265.007 100,0000 99,99637 0,00%
    Última edición por Alriga; 21/02/2017 a las 17:45:35. Razón: Mejorar presentación

  6. 2 usuarios dan las gracias a Alriga por este mensaje tan útil:

    alejandrito29 (18/02/2017),Weip (11/02/2017)

  7. #5
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    Predeterminado Re: ¿Cuándo empieza el dominio de la radiación?

    muchas gracias.

    ¿como usaste la ecuación de Friedmann para calcular los factores de escala?, por ejemplo para energía oscura.

    Pregunto por que la ecuación de Friedmann es:

    \frac{H}{H_0}=\Omega_r a^{-4}+ \Omega_M a^{-3}+ \Omega_\Lambda

    ¿me explicarías?, muchas gracias

  8. #6
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    Predeterminado Re: ¿Cuándo empieza el dominio de la radiación?

    Cita Escrito por alejandrito29 Ver mensaje
    ... la ecuación de Friedmann es:

    \frac{H}{H_0}=\Omega_r a^{-4}+ \Omega_M a^{-3}+ \Omega_\Lambda
    Observa que te has olvidado de la raíz cuadrada, lo correcto es:

    \dfrac{H(a)}{H_0}=\sqrt{\Omega_{R_0} \ a^{-4}+ \Omega_{M_0} \ a^{-3}+ \Omega_{\Lambda_0}}

    Cita Escrito por alejandrito29 Ver mensaje
    ... ¿como usaste la ecuación de Friedmann para calcular los factores de escala?, por ejemplo para energía oscura ...
    Por definición del parámetro de Hubble:

    H(a)=\dfrac{\dot a} a

    \dfrac{da}{dt}=H(a) \cdot a

    dt=\dfrac{da}{H(a) \cdot a}

    Para valores del factor de escala "a" lo suficientemente grandes:
    \dfrac{\Omega_{R_0}}{a^4} \simeq 0 \simeq \dfrac{\Omega_{M_0}}{a^3} \ \Rightarrow \ H(a) \simeq H...

    \dst dt = \dfrac 1 {H_0 \ \sqrt{\Omega_{\Lambda_0}}} \int \dfrac{da} a

    Integrando y despejando el factor de escala:

    a(t)=K \cdot \exp(H_0 \ \sqrt{\Omega_{\Lambda_0}} \ \cdot t)

    H_0=\notcien{2.1953}{-18} \ s^{-1}

    \Omega_{\Lambda_0}=0.6911

    Y puedes ajustar la constante de integración K para obtener el valor exacto en un punto. Yo lo he ajustado para obtener:

    t=92.641.265.007 años \Rightarrow a=100

    Obteniendo a(t)=0.481742 \cdot \exp{(\notcien{5.759292}{-11} \cdot t)} con t en años

    Saludos.
    Última edición por Alriga; 29/05/2017 a las 09:25:37. Razón: LaTeX

  9. El siguiente usuario da las gracias a Alriga por este mensaje tan útil:

    alejandrito29 (28/02/2017)

  10. #7
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    Predeterminado Re: ¿Cuándo empieza el dominio de la radiación?

    Cita Escrito por Alriga Ver mensaje
    Observa que te has olvidado de la raíz cuadrada, lo correcto es:

    \dfrac{H(a)}{H_0}=\sqrt{\Omega_{R_0} \ a^{-4}+ \Omega_{M_0} \ a^{-3}+ \Omega_{\Lambda_0}}



    Por definición del parámetro de Hubble:

    H(a)=\dfrac{\dot a} a

    \dfrac{da}{dt}=H(a) \cdot a

    dt=\dfrac{da}{H(a) \cdot a}

    Si \Omega_{R_0} \simeq \Omega_{M_0} \simeq 0 \ \Rightarrow \ H(a) \simeq H_0 \ \sqrt{\Omega_{\Lambda...

    \dst dt = \dfrac 1 {H_0 \ \sqrt{\Omega_{\Lambda_0}}} \int \dfrac{da} a

    Integrando y despejando el factor de escala:

    a(t)=K \cdot \exp(H_0 \ \sqrt{\Omega_{\Lambda_0}} \ \cdot t)

    H_0=\notcien{2.1953}{-18} \ s^{-1}

    \Omega_{\Lambda_0}=0.6911

    Y puedes ajustar la constante de integración K para obtener el valor exacto en un punto. Yo lo he ajustado para obtener:

    t=92.641.265.007 años \Rightarrow a=100

    Obteniendo a(t)=0.481742 \cdot \exp{(\notcien{5.759292}{-11} \cdot t)} con t en años

    Saludos.
    Muchísimas gracias,y disculpas por tantas preguntas

    No deberían sumar 1? \Omega_{R_0}+\Omega_{M_0} +\Omega_{\Lambda_0}=1 ?

    Si \Omega_{\Lambda_0}=0.6911 y los otros dos son cero, entonces no suman 1.

  11. El siguiente usuario da las gracias a alejandrito29 por este mensaje tan útil:

    Alriga (29/05/2017)

  12. #8
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    Predeterminado Re: ¿Cuándo empieza el dominio de la radiación?

    Cita Escrito por alejandrito29 Ver mensaje
    ... Si \Omega_{R_0} \simeq \Omega_{M_0} \simeq 0 \ \Rightarrow \ H(a) \simeq H_0 \ \sqrt{\Omega_{\Lambda...

    No deberían sumar 1? \Omega_{R_0}+\Omega_{M_0} +\Omega_{\Lambda_0}=1 ?

    Si \Omega_{\Lambda_0}=0.6911 y los otros dos son cero, entonces no suman 1.
    Ups, sí perdona, es un lapsus, no quería decir eso, lo que quería decir es que:

    Si a >>
    \dfrac{\Omega_{R_0}}{a^4} \simeq 0 \ \dfrac{\Omega_{M_0}}{a^3} \simeq 0 \ \Rightarrow \ H(a) \sim...

    Lo corrijo en el post, gracias y saludos.
    Última edición por Alriga; 29/05/2017 a las 09:28:56. Razón: Sintaxis

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    alejandrito29 (28/02/2017)

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