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Hilo: Densidad de estados en 2 dimensiones

  1. #1
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    Predeterminado Densidad de estados en 2 dimensiones

    Tengo el siguiente problema:

    " Deducir para el caso de una sustancia bidimensional la función densidad de estados g(E) mostrando que es independiente de la energía de los electrones libres. Tome en cuenta en su modelo un cristal cuadrado de lado 'L', la masa del electrón 'm' y no se olvide de considerar el principio de Pauli. "

    Lo que necesito saber es si la respuesta que obtuve es correcta (tal ves alguien conozca dicha fórmula y pueda corroborar mi respuesta).
    Yo obtuve:

    g(E)=\frac{4mL^2}{\pi \hslash^2}

    Yo parti de: E=\frac{\hslash^2 k^2}{2m}

    Usando en el espacio recíproco "k" un área circular.

    Gracias por la ayuda.

    FIEE-UNI

  2. El siguiente usuario da las gracias a Enzo por este mensaje tan útil:

    Dramey (28/07/2008)

  3. #2
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    Predeterminado Re: Densidad de estados en 2 dimensiones

    a mi la respuesta me da: \frac{m L^2}{\pi \hbar^2} , lo que es un \frac{1}{4} de lo que tu estas calculando; pero de cualquier forma no estoy seguro.

  4. #3
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    Predeterminado Re: Densidad de estados en 2 dimensiones

    Ademas queria decir, que para el caso de una dimension no tiene sentido utilizar las integrales puesto que no existen energias degeradas en los estados =>

    U = 2\frac{\pi^2 \hbar^2}{2mL^2} (1 + 2^2 + 3^2+ ... + n_{max}^2) = \frac{\pi^2 \hbar^2}{2mL^2} (...

  5. #4
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    Predeterminado Re: Densidad de estados en 2 dimensiones

    En dos dimensiones:

    U = 2 \int_0^{\epsilon_f} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \epsilon (n) dn d \phi = \pi \int_0^{\epsilon_f}...

    n = \sqrt{\epsilon} \frac{\sqrt{2mL^2}}{\pi \hbar} y dn = \frac{\sqrt{2mL^2}}{\pi \hbar} \frac{d\epsilon}{2\sqrt{\epsilon}}

    U= \int_0^{\epsilon_f} \epsilon ( \frac{mL^2}{\pi \hbar^2}) d\epsilon

  6. #5
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    Predeterminado Re: Densidad de estados en 2 dimensiones

    Cita Escrito por Jose D. Escobedo Ver mensaje
    Ademas queria decir, que para el caso de una dimension no tiene sentido utilizar las integrales puesto que no existen energias degeradas en los estados =>

    U = 2\frac{\pi^2 \hbar^2}{2mL^2} (1 + 2^2 + 3^2+ ... + n_{max}^2) = \frac{\pi^2 \hbar^2}{2mL^2} (...

    queria decir estados degenerados con sus respectivas energias.

  7. #6
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    Predeterminado Re: Densidad de estados en 2 dimensiones

    Pero lo estas solucionando de una manera diferente.
    Ni siquiera se como lo estas haciendo.

    Yo utilizo la ec de Schrodinger como en el caso de un pozo tridimensional para hallar "k" pues como la solucion es funcion de senos y cosenos 'k' debe ser: k_i=\frac{n_i\pi}{L} donde 'L' es el ancho del pozo (en este caso el lado de la celda).

    luego: k^2=k_x^2+k_y^2+k_z^2 lo que hace una esfera en el espacio 'k'. Entonces para dos dimensiones hice:

    k^2=k_x^2+k_y^2

    Además como en el espacio 'k' tendríamos un celda de lado \frac{\pi}{L} tenemos \frac{L^2}{\pi ^2} estados por unidad de área.

    Luego como en el espacio 'k' se tiene un círculo el área es: \pi R^2 donde R^2=k^2

    Pero: k^2=\frac{E.2m}{\hslash ^2}

    Entonces el número de estados con energía menor que 'E' sera: N=2(\pi \frac{2mE}{\hslash ^2})(\frac{L^2}{\pi ^2})

    El '2' es por el principio de Pauli.

    Y finalmente por definición: g(E)=\frac{dN}{dE}
    Derivando:

    g(E)=\frac{4mL^2}{\hslash ^2 \pi}

    Eso es lo que hice yo.
    Esta mal???

    Gracias por la ayuda.

  8. #7
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    Predeterminado Re: Densidad de estados en 2 dimensiones

    Si, estas mal.

    Lo que mencionas de la equation de Shr\ddot odinger estaba implicito por lo que no era necesario mencionarlo.

    Una vez que se obtienen las energias para el caso de 2D de "una caja cuadrada" E = \frac{\pi^2 \hbar^2}{2mL^2} ( n_x^2 + n_y^2), la pregunta ahora es: cuales son los valores que toman n_x y n_y?, acaso se toman valores negativos?, y si se toman valores positivos para ambos, en que cuadrante de el plano or "espacio n_x y n_y" pasa esto? piensa un poco en estas preguntas y llegaras a la conclucion de tu error.

  9. El siguiente usuario da las gracias a Jose D. Escobedo por este mensaje tan útil:

    Dramey (28/07/2008)

  10. #8
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    Predeterminado Re: Densidad de estados en 2 dimensiones

    Muy interesante el hilo!

    Jose D. Escobedo está en lo cierto. Y como a mi me gusta lo experimental decir que esto no es solo una cosa teórica. Este modelo se aplica cuando tienes una lámina metálica de unos pocos nm de espesor entre dos aislantes.

  11. #9
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    Predeterminado Re: Densidad de estados en 2 dimensiones

    Yo me basé en una deducción que vi en el libro de mi profe. Lo hacía para 3 dimensiones.
    Voy a revisar el libro y pongo los detalles a ver que sale

  12. #10
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    Predeterminado Re: Densidad de estados en 2 dimensiones

    La densidad de estados en 2D es: m/(hbarra^2 * pi), o, dependiendo de cómo la definas, lo mismo pero multiplicado por L^2. Ese es el resultado correcto.
    En 1D: sqrt(m/2) / (pi * hbarra * E^1/2) o lo mismo por L.
    En 3D: m sqrt(2mE)/ (hbarra^3 * pi^2) o lo mismo por L^3.

  13. #11
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    Predeterminado Re: Densidad de estados en 2 dimensiones

    Puede hacerse de 3 maneras diferentes.

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