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Hilo: Demostración velocidad y aceleración en coordenadas polares

  1. #1
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    Predeterminado Demostración velocidad y aceleración en coordenadas polares

    Hola no entiendo esta demostración de coordenadas polares


    Demostrar que en coordenadas polares:


    La velocidad se da por v= \dot r e_R + r \dot \theta e_{\theta} 	 y la aceleración se expresa como a= (\ddot r-r{\dot \theta}^2 )e_R +(r \ddot \theta +2 \dot r \dot \theta) e_{\theta}

    Encontré la demostración en esta página http://laplace.us.es/wiki/index.php/Coordenadas_polares pero no me queda nada claro


    De antemano gracias.


    Saludos

  2. #2
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    Predeterminado Re: Demostración velocidad y aceleración en coordenadas polares

    Hola, la demostración del enlace que proporcionas, 3 Vectores cinemáticos en coordenadas polares me parece detallada, clara y completa.

    Parte de la definición de velocidad, que es la derivada del radio-vector

    \vec v=\dfrac{d\vec r}{dt}

    Nombre:  Coordenadas_polares.png
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    Expresa el radio vector en coordenadas polares, según dibujo adjunto en el que \vec u_{\rho} y \vec u_{\theta} son los vectores unitarios polares. En el dibujo se observa que el radio vector es:

    \vec r=\rho \vec u_{\rho}+ 0 \cdot \vec u_{\theta}=\rho \vec u_{\rho}

    A continuación hace la derivada del producto y obtiene:

    \vec v=\dot \rho \vec u_{\rho}+\rho \dot{\vec u}_{\rho}

    Los vectores unitarios polares expresados en coordenadas cartesianas, tal como se deduce del dibujo mediante trigonometría básica son:

    \vec u_{\rho}=1 \cdot \cos \theta \vec i+1 \cdot \sin \theta \vec j=\cos \theta \vec i+\sin \thet...

    \vec u_{\theta}=1 \cdot (- \sin \theta) \vec i+1 \cdot \cos \theta \vec j=-\sin \theta \vec i+\co...

    Se deriva (1) aplicando la regla de la cadena

    \dot{\vec u}_{\rho}=\dfrac{d\vec u_{\rho}}{d\theta} \dfrac{d\theta}{dt}=(-\sin \theta \vec i+\cos...

    Por lo tanto

    \vec v= \dot \rho \vec u_{\rho}+\rho \dot \theta \vec u_{\theta}

    Para la aceleración se procede de forma similar. Es sencillo si lo sigues con cuidado, si tienes alguna duda en algún punto concreto vuelve a preguntar.

    Saludos.
    Última edición por Alriga; 05/11/2018 a las 13:15:58.

  3. El siguiente usuario da las gracias a Alriga por este mensaje tan útil:

    cristianoceli (05/11/2018)

  4. #3
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    Predeterminado Re: Demostración velocidad y aceleración en coordenadas polares

    Si me apresuré en preguntar.


    Saludos.

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