1r ciclo Campo y potencial de 3 placas indefinidas con carga superficial

[Magic24]

Hola, tengo un problema con el siguiente ejercicio:

En cada uno de los tres planos indefinidos $x = - 2$, $x = 0$,$x = 2 m$, existe una distribución decarga superficial $\sigma_1 = 2 C/m^2$, $\sigma_2 = 4 C/m^2$, $\sigma_3 = -3 C/m^2$ respectivamente. Hállense el campo eléctrico y el potencial en todo el espacio, tomando como origen de potenciales $x = 0m$.

Ya tengo los campos, por ejemplo para la región I, $x<-2$ obtengo $E_I= - \dfrac{3}{2 \epsilon_0} n$ con en el vector normal a cada plano. La cosa es a la hora de calcular el potencial, creo que he de integrar tal que:

$V = - \int E dl$

Para la región citada debe dar $V_I= \dfrac{3}{2 \epsilon_0} x + \dfrac{4}{\epsilon_0}$ pero no termino de ver la integral y los límites de integración.

Gracias de antemano

[Alriga]

Re: Campo y potencial de 3 placas indefinidas con carga superficial

... En cada uno de los tres planos indefinidos $x = - 2$, $x = 0$, $x = 2 m$, existe una distribución descarga superficial $\sigma_1 = 2 C/m^2$, $\sigma_2 = 4 C/m^2$, $\sigma_3 = -3 C/m^2$ respectivamente. Hállense el campo eléctrico y el potencial en todo el espacio, tomando como origen de potenciales .......

No entiendo, ¿Qué origen de potenciales dicen que tomes?
Saludos.

[Magic24]

Re: Campo y potencial de 3 placas indefinidas con carga superficial

Perdona, ya he corregido el enunciado.

[Alriga]

Re: Campo y potencial de 3 placas indefinidas con carga superficial

Si ya tienes el campo E(x) en cada una de las 3 zonas, el potencial para cada zona tomando el plano x=0 como referencia entiendo que es, según la definición de potencial:

$\displaystyle V(x)=-\int_0^x E(x) \ dx$

Saludos.

[Magic24]

Re: Campo y potencial de 3 placas indefinidas con carga superficial

Sí, es sencillo obtener que $V_I = \dfrac{3}{2 \epsilon_0} x$, lo que me falta es que hay un término $\dfrac{4}{\epsilon_0}$ que no sé cómo se obtiene.

[Alriga]

En cada uno de los tres planos indefinidos

$x = - 2$, $x = 0$, $x = 2 \ m$,

existe una distribución de carga superficial

$\sigma_1 = 2 \ C/m^2$, $\sigma_2 = 4 \ C/m^2$, $\sigma_3 = -3 \ C/m^2$ respectivamente.

Hállense el campo eléctrico y el potencial en todo el espacio, tomando como origen de potenciales $x = 0 \ m$.

Re: Campo y potencial de 3 placas indefinidas con carga superficial

Nos dan las densidades de carga de cada uno de los 3 planos:

$\sigma_{-2}=2 \ C/m^2$ para el plano situado en $x = - 2 \ m$

$\sigma_0=4 \ C/m^2$ para el plano situado en $x = 0 \ m$

$\sigma_{+2}=-3 \ C/m^2$ para el plano situado en $x = + 2 \ m$

Sabemos que el campo creado en el vacío por un plano infinito situado en x=0 con carga superficial $\sigma$ es:

$\vec E(x)=+\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0} \ \hat i$ para x > 0

$\vec E(x)=-\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0} \ \hat i$ para x < 0

Que con la ayuda de la Función Signo se puede expresar como:

$\vec E(x)=\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0} \ sgn(x) \ \hat i$

La función $sgn(x)$ es la Función signo

Luego el campo creado por cada uno de los 3 planos cargados si estuviese él solo, es respectivamente:

$\vec E_{-2} (x)=\dfrac{\sigma_{-2}}{2\epsilon_0} sgn(x+2) \ \hat i=\dfrac{1}{\epsilon_0} sgn(x+2) \ \hat i$

$\vec E_{0} (x)=\dfrac{\sigma_{0}}{2\epsilon_0} sgn(x) \ \hat i=\dfrac{2}{\epsilon_0} sgn(x) \ \hat i$

$\vec E_{+2} (x)=\dfrac{\sigma_{+2}}{2\epsilon_0} sgn(x-2) \ \hat i=-\dfrac{3}{2\epsilon_0} sgn(x-2) \ \hat i$

Aplicamos el Teorema de Superposición para calcular el campo en cualquier punto x:

$\boldsymbol{\vec E(x)=\dfrac 1{\epsilon_0} \left (sgn(x+2)+2 \ sgn(x)-\dfrac 3 2 \ sgn(x-2) \right ) \ \hat i}$

Ahora simplemente puedes sustituir por ejemplo x=-3, x=-1, x=1, x=3 en las ecuaciones del Campo, para ver cuánto vale éste en cada una de las 4 zonas en que ha quedado dividido el espacio, (campo = línea azul del gráfico de abajo)

El Potencial Eléctrico es la integral del Campo Eléctrico:

$V(x)=\dst \int E(x) \cdot dx$

Recordar que la función Signo es la derivada de la función Valor Absoluto, por lo tanto:

$V(x)=\dfrac 1{\epsilon_0} \left ( |x+2|+2 \ |x| -\dfrac 3 2 \ |x-2|+K \right )$

Para determinar la constante de integración: queremos que el plano x=0 sea el de referencia, es decir queremos que $V(0)=0$

$0=2+0-\dfrac 3 2 \ 2+K$

$K=1$

Por lo tanto

$\boldsymbol{V(x)=\dfrac 1{\epsilon_0} \left ( |x+2|+2 \ |x| -\dfrac 3 2 \ |x-2|+1 \right )}$

El gráfico del campo y del potencial queda así, ( en el eje vertical se omite el factor $1/\epsilon_0$ ):

Saludos.

[Magic24]

Re: Campo y potencial de 3 placas indefinidas con carga superficial

Muchísimas gracias, espectacular resolución!