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Hilo: [Movimiento circular] Hallar los radios de curvatura de la trayectoria de dos puntos.

  1. #1
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    Predeterminado [Movimiento circular] Hallar los radios de curvatura de la trayectoria de dos puntos.

    Hola, necesito ayuda con este problema:
    Un cilindro rueda sin resbalamiento por un plano horizontal. El radio del cilindro es igual a r. Hallar los radios de curvatura de la trayectoria de los puntos A y B.
    Nombre:  8.PNG
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    Lo primero que hice fue graficar el movimiento de la siguiente forma:Nombre:  9.PNG
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    Posteriormente utilicé la fórmula del radio de curvatura R=\frac{1}{C}=\frac{ds}{d\varphi}\Rightarrow ds=Rd\varphi \Rightarrow d\varphi=\frac{ds}{R}=\frac.... Después de eso no se que hacer, intenté utilizar la fórmula de la aceleración angular a_{n}=\frac{v^2}{R}=\omega^2 R, dejé R, obteniendo a_{nA}=\frac{v_A^2}{R_A}\Rightarrow R_A=\frac{v_A^2}{a_{nA}}=\frac{\omega^2R_A^2}{a_{nA}}. ¿Qué debo hacer después? Por favor ayuda.

  2. #2
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    Predeterminado Curvatura y radio de curvatura de una cicloide

    Hola davidllerenav, bienvenido a La web de Física, por favor como nuevo miembro lee primero Consejos para conseguir ayuda de forma efectiva

    Es bien conocido que un punto cualquiera del perímetro de una rueda que gira sin deslizar describe una Cicloide

    La ecuación de la cicloide correspondiente a una circunferencia de radio "r" que gira con velocidad angular "w" en paramétricas, (con parámetro = tiempo) es:

    x(t)=r w t - r\sin w t

    y(t)=r-r \cos w t

    RESOLUCIÓN MEDIANTE GEOMETRÍA DIFERENCIAL

    Aplicando los conocimientos de geometría diferencial de curvas, la curvatura de una curva plana se calcula mediante:

    \boxed{k=\dfrac{|\dot x \ddot y-\ddot x \dot y|}{\sqrt{\left ( \dot x^2+\dot y^2 \right )^3}}}

    Derivando las ecuaciones paramétricas de la ciclode:

    \dot x=r w-r w \cos w t

    \ddot x=r w^2 \sin w t

    \dot y=r w \sin w t

    \ddot y=r w^2 \cos w t

    Sustituyendo en (3) y simplificando, (la simplificación es bastante larga) se obtiene que la curvatura de la cicloide es:

    k=\dfrac 1{4 r \left | \sin\dfrac{w t}2} \right |

    El radio de curvatura de la cicloide es el inverso de la curvatura:

    R=4 r \left | \sin\dfrac{w t}2 \right |

    Nombre:  Cicloide.png
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    El punto "A" corresponde a w t=\pi (Compruébalo, sustituye en (2) y verás como sale y=2 r) El radio de curvatura en el punto más alto es:

    R_A=4 r \left | \sin\dfrac{\pi}2 \right |=4 r

    El punto "B" corresponde a w t=3\pi/2 (Compruébalo, sustituye en (2) y verás como sale y= r) El radio de curvatura en ese punto:

    R_B=4 r \left | \sin\dfrac{3\pi}4 \right |=2\sqrt 2 \ r

    RESOLUCIÓN MEDIANTE CINEMÁTICA

    El vector de posición

    \vec r=(rwt-r\sin wt) \ \hat i+(r-r\cos wt) \ \hat j

    La velocidad

    \vec v=\dfrac{d \vec r}{dt}=(rw-rw\cos wt) \ \hat i+rw\sin wt \ \hat j

    El módulo de la velocidad

    v=\sqrt{(rw-rw\cos wt)^2+r^2w^2 \sin^2 wt}

    v=2rw \left | \sin \dfrac{wt}2 \right |

    La aceleración

    \vec a=\dfrac{d\vec v}{dt}=rw^2\sin wt \ \hat i+r w^2 \cos wt \ \hat j

    El módulo de la aceleración

     a=\sqrt{(rw^2\sin wt)^2+(r w^2 \cos wt)^2}

    a=rw^2

    La aceleración tangencial

    a_t=\dfrac{dv}{dt}=\dfrac d{dt} \Big ( 2rw \left | \sin \dfrac{wt}2 \right | \Big )

    a_t=\dfrac{rw^2\sin wt}{2\left | \sin \dfrac{w t}2 \right |}

    Finalmente, la aceleración normal

    a_n=\sqrt{a^2-a_t^2}

    Y el radio de curvatura

    R=\dfrac{v^2}{a_n}

    Apliquemos (4), (5), (6), (7) y (8) a los dos puntos que nos piden

    A) Punto “A”

    w\cdot t_A=\pi

    v_A=2rw|1|=2rw

    a_{t_A}=0

    a_{n_A}=a_A=rw^2

    R_A=\dfrac{4r^2w^2}{rw^2}=4r

    B) Punto “B”

    w\cdot t_B=3\pi / 2

    v_B=2rw |\sin 3\pi /4 |=\sqrt 2 \ r w

    a_{t_B}=\dfrac{rw^2 \sin 3\pi / 2}{2 | \sin 3\pi / 4 |}=-\dfrac{rw^2}{\sqrt 2}

    a_{n_B}=\sqrt{r^2w^4-\dfrac{r^2w^4}2}=\dfrac{rw^2}{\sqrt 2}

    R_B=\dfrac{2r^2w^2}{\dfrac{rw^2}{\sqrt 2}}=2\sqrt 2 \ r

    Saludos.
    Última edición por Alriga; 25/02/2019 a las 17:53:21. Razón: Ampliar información

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