Se busca obtener la ecuación de Schrödiger, unidimensional, independiente del tiempo, es decir, la ecuación diferencial que relaciona la energía de un sistema cuántico unidimensional con su función de onda . La ecuación de Schröndinger se obtiene para la partícula libre y una vez obtenida se postula su validez para cualquier sistema cuántico.
Se considera como punto de partida el postulado de de Broglie, que establece la dualidad onda-corpúsculo, aplicado a una partícula libre de momento lineal . De este modo, las ecuaciones en las que se basa la demostración son:
a) Ecuación de onda general
donde representa la función de onda asociada a la partícula y su velocidad de propagación.
b) Postulado de de Broglie
siendo la longitud de onda.
Dado que la partícula libre no se haya influenciada por ningún agente externo, a excepción de un potencial constante, se considera como onda asociada una onda de periodo constante que se desplace con velocidad constante
siendo la frecuencia de la onda. Haciendo el cambio obtenemos
una onda que se ajusta a estos requerimientos es
Como se busca una ecuación diferencial independiente del tiempo, para finalmente postular su validez para cualquier sistema cuántico, la parte independiente de interesa expresarla de forma generalizada, de esta forma hacemos
teniendo siempre en cuenta que depende únicamente de , es decir , por tanto nos queda
Ahora procedemos a obtener las primeras y segundas derivadas respecto de y de
Sustituyendo (5) y (6) en (1) llegamos a la siguiente forma de la ecuación de onda general
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lo cual nos permite eliminar el factor dependiente del tiempo , quedándonos
ahora sustituimos la expresión de la velocidad (3) en (7)
En este punto introducimos el postulado de de Broglie, sustituyendo por la ecuación (2)
y simplificando queda
Lo siguiente que necesitamos hacer es relacionar la ecuación (8) con la energía de la partícula, para ello partimos del hamiltoniano
es la energía cinética y la potencial, que es constante por tratarse de una partícula libre. De esta expresión obtenemos
y sustituyendo (9) en (8)
multiplicando ahora por
que es la Ecuación de Schrödinger unididmensional independiente del tiempo.
Demostraciones relacionadas:
- Ecuación de Schrödinger unidimensional independiente del tiempo a través de un tratamiento variacional
- Ecuación de Schrödinger Tridimensional
- Ecuación de Schrödinger Dependiente del Tiempo
- Demostrar que la función de onda seleccionada (ecuación 4) es de periodo constante
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