Periodicidad de una onda plana

[QED]

Supongamos la siguiente onda plana:

$$\Psi=A\mathrm{e}^{ikx} \mathrm{e}^{-i{\omega}t}$$

la cual fue implementada en la demostración de la ecuación de Schrödiger unidimensional -en dicha demostracion se hace referencia a esta onda con (4)-.

$$\Psi=A \eee{-i \omega t}\eee{ikx}=A \eee{-i \omega t + ikx}=A\eee{i(kx-\omega t)}$$

Implementando la ultima expresion, intentaremos notar que para cualquier $x$ se cumple que el valor de $\Psi$ cada $nT$ (siendo $n \in \mathbb{N}$ o $n=0$, y $T$ el periodo) es el mismo.

para un tiempo $t$ como ya se menciono, $\Psi_1=A\eee{i(kx-\omega t)}$. Veamos que pasa en un tiempo $t+nT$:

$$\Psi_2=\dst A\eee{i\left[kx-\omega \left(t+nT\right)\right]}$$

Tomando a $T=\dfrac{2\pi}{\omega}$:

$$\Psi_2=A\mathrm{e}^{i[kx-{\omega t+2\pi n)] }}=A\mathrm{e}^{i(kx-\omega t)}\mathrm{e}^{i2\pi n}$$

Por la formula de Euler para todo $y$ se cumple $\eee{iy}=\cos y+i\sin y$, por lo tanto:

$$\eee{i2\pi n}=\cos 2\pi n + i \sin 2\pi n$$

como para todo $n$, $\cos 2\pi n =1$ y $\sin 2\pi n =0$:

$$\eee{i2\pi n}=1$$

Entonces si sustituimos en (4):

$$\Psi_2=A\eee{i(kx-\omega t)}=\Psi_1$$

Quedando demostrado de esta manera que (1) es una onda periódica.