Ecuación de Schrödinger Tridimensional

[QED]

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Se busca obtener la ecuación de Schrödinger tidimensional, independiente del tiempo, es decir, la ecuación diferencial que relaciona la energía $E$ de un sistema cuántico tridimensional con su función de onda $\Psi$. Al igual que se hizo en el caso unidimensional, se demuestra para la partícula libre y posteriormente se postula su validez para cualquier sistema cuántico.

En este caso la partícula libre, de momento $\vec{p}$, se desplaza a lo largo un eje $x'$ arbitrario, que pertenece al sistema de referencia $x',y',z'$ (estático respecto al sistema $x,y,z$). El objetivo es, partiendo de la ecuación de Schrödinger unidimensional obtener la expresión de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, para esta partícula, respecto al sistema de referencia $x,y,z$.

La expresión de la ecuación en forma unidimensional es, para este caso

$$\boxed{-\frac{{\hbar}^2}{2m}\frac{\partial^2{\varphi}}{\partial {x'}^2}+V{\varphi}=E{\varphi}}$$

con $\varphi=A\\e^{ikx'}$

de la figura podemos deducir las siguientes expresiones

$$\vec{x'}=\vec{r}-\vec{R}=(x-a,y-b,z-c)$$

$$\vec{p}=(p_x,p_y,p_z)=constante$$

como

$$\vec{p} \propto \vec{k}$$

tendremos

$$\vec{k}=(k_x,k_y,k_z)=constante$$

$$kx'=\vec{k}\vec{x'}=k_x(x-a)+k_y(y-b)+k_z(z-c)$$

luego

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$$\varphi=A\ee^{i(x-a)k_x }\ee^{i(y-b)k_y} \ee^{i(z-c)k_z}=A\ee^{-iak_x }\ee^{-ibk_y}\ee^{-ick_z}\ee^{ixk_x}\ee^{iyk_y} \ee^{izk_z}$$

haciendo

$$A_1=A^{\left(\frac{1}{3}\right)}\ee^{-iak_x }$$

$$A_2=A^{\left(\frac{1}{3}\right)}\ee^{-ibk_y}$$

$$A_3=A^{\left(\frac{1}{3}\right)}\ee^{-ick_z}$$

$$\varphi=A_1\ee^{ixk_x}A_2\ee^{iyk_y}A_3\ee^{izk_z}=X(x)Y(y)Z(z)$$

$$X(x)=A_1\ee^{ixk_x }, \qquad Y(y)=A_2\ee^{iyk_y}, \qquad Z(z)=A_3\ee^{izk_z}$$

La energía de la partícula será

$$E=\frac{p_x^2}{2m}+\frac{p_y^2}{2m}+\frac{p_z^2}{2m}+V$$

donde $V$ es la energía potencial, que por tratarse de una partícula libre es constante. Hacemos ahora

$$V=V_1+V_2+V_3$$

en donde $V_1$ y $V_2$ los podemos elegir de forma arbitraria, siendo por tanto $V_3=V-(V_1+V_2)$. Ahora escribimos

$$E_1=\frac{p_x^2}{2m}+V_1, \qquad E_2=\frac{p_y^2}{2m}+V_2, \qquad E_3=\frac{p_z^2}{2m}+V_3$$

$$E=E_1+E_2+E_3$$

Siguinendo el procedimiento desarrollado en la demostración de la ecuación de Schrödinger unidimensional aplicado a $X(x)$ y $E_1$ llegamos a la forma (similar a la ecuación 1)

$$-\frac{{\hbar}^2}{2m}\frac{\partial^2{X}}{\partial {x}^2}+V_1{X}=E_1{X}$$

multiplicando (6) por $Y(y)Z(z)$ y teniendo en cuenta que $Y$ y $Z$ son independientes de $x$

$$- \frac{{\hbar}^2}{2m}\frac{\partial^2{(XYZ)}}{\partial {x}^2}+V_1{XYZ}=E_1{XYZ}$$

como $\varphi=XYZ$ (ver ecuación 3)

$$-\frac{{\hbar}^2}{2m}\frac{\partial^2{\varphi}}{\partial {x}^2}+V_1{\varphi}=E_1{\varphi}$$

Si ahora procedemos de igual forma, por una parte con $Y(y)$ y $E_2$ (derivando respecto de $y$ y multiplicando al final por $XZ$) y por otra, con $Z(z)$ y $E_3$ (derivando respecto de $z$ y multiplicando al final por $XY$), obtendremos

$$-\frac{{\hbar}^2}{2m}\frac{\partial^2{\varphi}}{\partial {y}^2}+V_2{\varphi}=E_2{\varphi}$$

$$- \frac{{\hbar}^2}{2m}\frac{\partial^2{\varphi}}{\partial {z}^2}+V_3{\varphi}=E_3{\varphi}$$

sumando (8), (9) y (10), llegamos a

$$-\frac{{\hbar}^2}{2m}\left(\frac{\partial^2{\varphi}}{\partial {x}^2}+\frac{\partial^2{\varphi}}{\partial {y}^2}+\frac{\partial^2{\varphi}}{\partial {z}^2}\right)+(V_1+V_2+V_3){\varphi}=(E_1+E_2+E_3){\varphi}$$

y teniendo en cuenta (5) y (6)

$$-\frac{{\hbar}^2}{2m}\left(\frac{\partial^2{\varphi}}{\partial {x}^2}+\frac{\partial^2{\varphi}}{\partial {y}^2}+\frac{\partial^2{\varphi}}{\partial {z}^2}\right)+V{\varphi}=E{\varphi}$$

como el operador laplaciano es

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concluimos que

$$\boxed{- \frac{{\hbar}^2}{2m}\nabla^2{\varphi}+V{\varphi}=E{\varphi}}$$

que es la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo

Demostraciones relacionadas:

- Ecuación de Schrödinger Unidimensional
- Ecuación de Schrödinger unidimensional independiente del tiempo a través de un tratamiento variacional
- Ecuación de Schrödinger Dependiente del Tiempo
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