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Se busca obtener la ecuación de Schrödinger tidimensional, independiente del tiempo, es decir, la ecuación diferencial que relaciona la energía de un sistema cuántico tridimensional con su función de onda . Al igual que se hizo en el caso unidimensional, se demuestra para la partícula libre y posteriormente se postula su validez para cualquier sistema cuántico.

En este caso la partícula libre, de momento , se desplaza a lo largo un eje arbitrario, que pertenece al sistema de referencia (estático respecto al sistema ). El objetivo es, partiendo de la ecuación de Schrödinger unidimensional obtener la expresión de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, para esta partícula, respecto al sistema de referencia .


La expresión de la ecuación en forma unidimensional es, para este caso


con

de la figura podemos deducir las siguientes expresiones



como


tendremos



luego

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haciendo







La energía de la partícula será


donde es la energía potencial, que por tratarse de una partícula libre es constante. Hacemos ahora


en donde y los podemos elegir de forma arbitraria, siendo por tanto . Ahora escribimos



Siguinendo el procedimiento desarrollado en la demostración de la ecuación de Schrödinger unidimensional aplicado a y llegamos a la forma (similar a la ecuación 1)


multiplicando (6) por y teniendo en cuenta que y son independientes de


como (ver ecuación 3)


Si ahora procedemos de igual forma, por una parte con y (derivando respecto de y multiplicando al final por ) y por otra, con y (derivando respecto de y multiplicando al final por ), obtendremos



sumando (8), (9) y (10), llegamos a


y teniendo en cuenta (5) y (6)


como el operador laplaciano es

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concluimos que


que es la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo


Demostraciones relacionadas:

- Ecuación de Schrödinger Unidimensional
- Ecuación de Schrödinger unidimensional independiente del tiempo a través de un tratamiento variacional
- Ecuación de Schrödinger Dependiente del Tiempo
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