Ecuación de Schrödinger Unidimensional

[QED]

.

Se busca obtener la ecuación de Schrödiger, unidimensional, independiente del tiempo, es decir, la ecuación diferencial que relaciona la energía $E$ de un sistema cuántico unidimensional con su función de onda $\Psi$. La ecuación de Schröndinger se obtiene para la partícula libre y una vez obtenida se postula su validez para cualquier sistema cuántico.

Se considera como punto de partida el postulado de de Broglie, que establece la dualidad onda-corpúsculo, aplicado a una partícula libre de momento lineal $p$. De este modo, las ecuaciones en las que se basa la demostración son:

a) Ecuación de onda general

$$\frac{\partial^2{\Psi}}{\partial {x}^2}-\frac{1}{v^2}{\frac{\partial^2{\Psi}}{\partial {t}^2}}=0$$

donde $\Psi$ representa la función de onda asociada a la partícula y $v$ su velocidad de propagación.

b) Postulado de de Broglie

$$\lambda=\frac{2\pi\hbar}{p}$$

siendo $\lambda$ la longitud de onda.

Dado que la partícula libre no se haya influenciada por ningún agente externo, a excepción de un potencial constante, se considera como onda asociada una onda de periodo constante que se desplace con velocidad $v$ constante

$$v={\lambda}{\nu}$$

siendo $\nu$ la frecuencia de la onda. Haciendo el cambio $\omega=2\pi\nu$ obtenemos

$$v=\frac{\lambda\omega}{2\pi}$$

una onda que se ajusta a estos requerimientos es

$$\Psi=A\mathrm{e}^{-i{\omega}t}\mathrm{e}^{ikx}$$

Como se busca una ecuación diferencial independiente del tiempo, para finalmente postular su validez para cualquier sistema cuántico, la parte independiente de $t$ interesa expresarla de forma generalizada, de esta forma hacemos

$$\varphi=A\mathrm{e}^{ikx}$$

teniendo siempre en cuenta que $\varphi$ depende únicamente de $x$, es decir $\varphi=\varphi({x})$, por tanto nos queda

$$\Psi=\mathrm{e}^{-i{\omega}t}\varphi$$

Ahora procedemos a obtener las primeras y segundas derivadas respecto de $t$ y de $x$

$$\frac{\partial{\Psi}}{\partial {t}}=-i{\omega}\mathrm{e}^{-i{\omega}t}\varphi$$

$$\frac{\partial^2{\Psi}}{\partial {t}^2}=-{\omega}^2\mathrm{e}^{-i{\omega}t}\varphi$$

$$\frac{\partial{\Psi}}{\partial {x}}=\mathrm{e}^{-i{\omega}t}\frac{\partial{\varphi}}{\partial {x}}$$

$$\frac{\partial^2{\Psi}}{\partial {x}^2}=\mathrm{e}^{-i{\omega}t}\frac{\partial^2{\varphi}}{\partial {x}^2}$$

Sustituyendo (5) y (6) en (1) llegamos a la siguiente forma de la ecuación de onda general

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
lo cual nos permite eliminar el factor dependiente del tiempo $\mathrm{e}^{-i{\omega}t}$, quedándonos

$$\frac{\partial^2{\varphi}}{\partial {x}^2}+\frac{{\omega}^2}{v^2}{\varphi}=0$$

ahora sustituimos la expresión de la velocidad (3) en (7)

$$\frac{\partial^2{\varphi}}{\partial {x}^2}+\frac{{4{\pi}^2\omega}^2}{{\lambda}^2{\omega}^2}{\varphi}=0$$

En este punto introducimos el postulado de de Broglie, sustituyendo $\lambda$ por la ecuación (2)

$$\frac{\partial^2{\varphi}}{\partial {x}^2}+4{\pi}^2\frac{p^2}{4{\pi}^2{\hbar}^2}{\varphi}=0$$

y simplificando queda

$$\frac{\partial^2{\varphi}}{\partial {x}^2}+\frac{p^2}{{\hbar}^2}{\varphi}=0$$

Lo siguiente que necesitamos hacer es relacionar la ecuación (8) con la energía de la partícula, para ello partimos del hamiltoniano

$$E=\frac{p^2}{2m}+V$$

$p^2/2m$ es la energía cinética y $V$ la potencial, que es constante por tratarse de una partícula libre. De esta expresión obtenemos

$$p^2=2m(E-V)$$

y sustituyendo (9) en (8)

$$\frac{\partial^2{\varphi}}{\partial {x}^2}+\frac{2m(E-V)}{{\hbar}^2}{\varphi}=0$$

multiplicando ahora por $-\frac{{\hbar}^2}{2m}$

$$\boxed{- \frac{{\hbar}^2}{2m}\frac{\partial^2{\varphi}}{\partial {x}^2}+V{\varphi}=E{\varphi}}$$

que es la Ecuación de Schrödinger unididmensional independiente del tiempo.

Demostraciones relacionadas:

- Ecuación de Schrödinger unidimensional independiente del tiempo a través de un tratamiento variacional
- Ecuación de Schrödinger Tridimensional
- Ecuación de Schrödinger Dependiente del Tiempo
- Demostrar que la función de onda seleccionada (ecuación 4) es de periodo constante
.