Se busca obtener la ecuación de Schrödinger tidimensional, independiente del tiempo, es decir, la ecuación diferencial que relaciona la energía de un sistema cuántico tridimensional con su función de onda . Al igual que se hizo en el caso unidimensional, se demuestra para la partícula libre y posteriormente se postula su validez para cualquier sistema cuántico.
En este caso la partícula libre, de momento , se desplaza a lo largo un eje arbitrario, que pertenece al sistema de referencia (estático respecto al sistema ). El objetivo es, partiendo de la ecuación de Schrödinger unidimensional obtener la expresión de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, para esta partícula, respecto al sistema de referencia .
La expresión de la ecuación en forma unidimensional es, para este caso
con
de la figura podemos deducir las siguientes expresiones
como
tendremos
luego
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haciendo
La energía de la partícula será
donde es la energía potencial, que por tratarse de una partícula libre es constante. Hacemos ahora
en donde y los podemos elegir de forma arbitraria, siendo por tanto . Ahora escribimos
Siguinendo el procedimiento desarrollado en la demostración de la ecuación de Schrödinger unidimensional aplicado a y llegamos a la forma (similar a la ecuación 1)
multiplicando (6) por y teniendo en cuenta que y son independientes de
como (ver ecuación 3)
Si ahora procedemos de igual forma, por una parte con y (derivando respecto de y multiplicando al final por ) y por otra, con y (derivando respecto de y multiplicando al final por ), obtendremos
sumando (8), (9) y (10), llegamos a
y teniendo en cuenta (5) y (6)
como el operador laplaciano es
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concluimos que
que es la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo
Demostraciones relacionadas:
- Ecuación de Schrödinger Unidimensional
- Ecuación de Schrödinger unidimensional independiente del tiempo a través de un tratamiento variacional
- Ecuación de Schrödinger Dependiente del Tiempo
.