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El momento de fuerza generado por el cuerpo central es por definicion:
Entonces la magnitud de es:
siendo el radiovector, la fuerza gravitatoria y el angulo entre los vectores anteriores (la fuerza y el radiovector).
como es una fuerza central, el angulo entre esta y es siempre cero, por lo que
Como entonces podemos concluir que es constante.
Una vez notado esto, podemos comenzar con la demostracion que nos incumbe.
Empecemos por trazar dos rectas desde un punto en el interior de la curva cerrada, la cual representa la orbita describida por el cuerpo, hasta un elemento del perimetro de la misma, donde la separacion angular entre ellas sea de . El punto representa la ubicacion del cuerpo que genera la fuerza central. De esta manera nos quedara algo semejante a los siguientes graficos:
Lo que a continuacion se expresara, será notorio que es valido en general para cualquier curva cerrada y en particular para una elipse.
En el gráfico, se puede notar un triángulo en donde dos de sus lados, son practicamente y el otro lado es . Al ser que el angulo es tan pequeño, el arco entre las intersecciones de las rectas y el perímetro, es practicamente . Es deicir que al ser tan pequeño este arco, lo podemos rectificar sin que con eso nos de un error significativo.
Teniendo en cuenta esto, podemos decir que el elemento diferencial de area (el rojo) es:
Como . Si sustituimos por su expresión equivalente en (2.1):
Como y es constante, entonces su valor será el que tiene cuando , por lo tanto . Siendo que , . Teniendo en cuenta esto, sustituimos en (2.2) :
Integrando a ambos lados queda:
Entonces con esto podemos analizar el area barrida en un lapso de tiempo, aplicando la formula para un y para un :
haciendo la diferencia:
Como la expresion es constante, ya que el momento angular lo es y tambien lo es la masa, se puede notar que el area barrida (la diferencia de areas) solamente depende del tiempo que transcurra, y no de la posicion inicial y final.
Validez para sistemas binarios en general
Para notar la validez en estas circunstancias, vamos a apoyarnos en parte en lo que acabamos de demostrar.
Primero notemos que en este caso también el momento angular con respecto al centro de masa es constante.
Como se expuso en la ya realizada demostración, el momento de fuerza es por definición:
siendo el angulo entre el vector posición y el vector fuerza.
Si nuestro eje de referencia lo ubicamos sobre el centro de masa, seria la distancia de alguno de los objetos que orbita, a él. Por otro lado, el centro de masa del sistema estaria ubicado con respecto a una de las masas en :
Por lo que se puede notar que la dirección del vector posición con un eje de referencia con el cero en el centro de masa, es la misma que la del vector posición con respecto a una de las masas. Esto se puede ver en el siguiente grafico:
Por otro lado, es necesario notar que la fuerza aplicada sobre uno de los cuerpos, como es producto de la interacción gravitatoria, esta en la misma dirección que el vector posición que tiene el cuerpo afectado por la fuerza si se toma como punto de referencia el cuerpo que genera dicha fuerza. Esto implica, por lo ya dicho y por lo que se puede notar en el grafico, que esta fuerza tiene la misma dirección que el vector posición si se toma como punto de referencia al centro de masa del sistema. Esto quiere decir que el angulo que existe entre el vector posición y el vector fuerza es cero, y por lo tanto:
Como ya se vio, esto implica que el momento angular es constante.
Nuevamente se puede repetir el proceso realizado para la demostración inicial a partir de (2.1), esta vez tomando las posiciones con respecto al centro de masa.
Por lo tanto, queda demostrado que para cada uno de los cuerpos que componen al sistema, se cumple que su radiovector con respecto al centro de masa barre areas iguales en tiempo iguales.
Demostraciones relacionadas: